Question

Quais são os números cujo a média aritmética simples e a média geometrica deles são respectivamente 20,5 e 20?​

Answer 1

Resposta:

A média aritimética pode ser representada por:

$\frac{x _{1} + x _{2} + ... +x _{n} }{n}$

Onde n é o número de termos e cada termo é diferente.

Já a média geométrica pode ser representada por:

$\sqrt[n]{x _{1} \times \: x _{2} \times... \times x _{n} }$

Onde n é o número de termos e cada termo é diferente.

Em vista disso, podemos dizer que:

$\frac{x +y }{2} = 20,5(i)$

e

$\sqrt{x \times y } = 20 \: (ii)$

Com x diferente de y.

Vamos, primeiramente, arrumar a primeira equação:

$x + y= 41$

$x = 41 - y \:(iii)$

Substituindo (iii) em (ii), temos:

$\sqrt{(41 -y) y } = 20$

$\sqrt{41y-y ^{2} } = 20$

Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado, temos:

$41y - y^{2} = 400$

Temos uma equação quadrática de segundo grau. Para resolvê-la, precisamos reagrupar os termos e igualar a zero.

$y ^{2} - 41y + 400 = 0$

$y = \frac{ - ( - 41) ± \sqrt{( - 41) ^{2} - 4 \times 1 \times 400 } }{2}$

$y = \frac{41 ± \sqrt{81} }{2}$

$y_{1} = 25 \:e \: y _{2} = 16$

Substituindo o primeiro valor de y na terceira equação, temos:

$x _{1} = 41 - 25$

$x _{1} = 16$

Agora devemos substituir o segundo valor de y nessa mesma equação:

$x _{2} = 41 - 16$

$x _{2} = 25$

Com isso, temos que os valores são:

$(x _{1}, \: y _{1}) = (16, \: 25)$

$(x _{2}, \: y _{2}) = (25, \: 16)$

Ou seja, os números são 16 e 25.