Question

Quais são as coordenadas do vértice de uma função de segundo grau?

Answer 1

Resposta:

x = -b/2a

y = -Δ/4a

Resolução Passo-a-Passo:

Vamos achar essa fórmula juntos (iey!).

Considere f(x) = ax² + bx + c.

Uma função de segundo grau é simétrica com o eixo de simetria no seu vértice (veja a imagem, toda a função que está ao lado direito da reta azul tem valor idêntico à função do lado esquerdo.)

Com essa observação, se pegarmos dois valores em x que têm o mesmo valor de f(x), a média entre eles será o x do vértice (isso que define algo ser simétrico, aliás). Pegaremos dois valores de x bem conhecidos, as raízes da função, $x_1 \: e \: x_2$.

$x_v = \frac{x_1+x_2}{2}$

No entanto, o valor $x_1+x_2$ é uma relação de girard encontrada na soma e produto:

$x_1+x_2 = \frac{-b}{a}$

Substituindo:

$x_v = \frac{x_1+x_2}{2}$

$x_v = \frac{-b}{2a}$

Encontramos a coordenada x do vértice de uma função baseada em seus coeficientes b e a.

Para encontrar o y, basta substituir $y_v = f(x_v)$

$f(x_v) = ax_v^2+bx_v+c$

$y_v = a*(\frac{-b}{2a})^2+b*(\frac{-b}{2a}) + c$

$y_v = \frac{a*b^2}{4a^2}+\frac{-b^2}{2a} + c$

Deixando todos os denominadores iguais a 4a²:

$y_v = \frac{a*b^2}{4a^2}+\frac{-b^2*2a}{2a*2a} + \frac{c*4a^2}{4a^2}$

$y_v = \frac{a*b^2-2a*b^2+4a^2*c}{4a^2}$

$y_v = \frac{-a*b^2+4a^2*c}{4a^2}$

Cortando a de cima de baixo:

$y_v = \frac{-*b^2+4a*c}{4a}$

Perceba que, de bhaskara, $\Delta = b^2-4ac$, o que vemos na fórmula portanto é -Δ = -b² + 4ac

$y_v = \frac{-\Delta}{4a}$

Terminando a demonstração, as coordenadas x e y do vértice são:

x = -b/2a

y = -Δ/4a

$V = (\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a})$