Question

Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R4?

a) {(1, 0, 0, 1),(0, 1, 0, 0),(1, 1, 1, 1),(1, 1, 1, 0)};

b) {(1, 2, 1, 0),(1, 1, −1, 0),(0, 0, 0, 1)};

c) {(1, 1, 0, 0),(1, 2, −1, 1),(0, 0, 1, 1),(2, 1, 2, 2)}.

(preciso da justificativa)

Answer 1

Resposta:

a)

(1, 1, 1, 1)

(1, 0, 0, 1)

(0, 1, 0, 0)

(1, 1, 1, 0)

L2=L2-L1

L4=L4-L1

(1,  1,  1, 1 )

(0, -1, -1, 0 )

(0,  1,  0, 0 )

(0,  0,  0, -1)

det=(-1)^(1+1) * 1 * det A

A =

-1   -1   0

1    0   0

0    0  -1

A =

-1   -1   0   -1   -1

1    0   0    1    0

0    0  -1    0    0

det A=0+0+0-1+0+0 =-1 , diferente de zero

tem 4 dimensões , portanto, SIM geram o R4

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b)

Tem apenas 3 vetores, 3 dimensões, NÃO pode gerar o R4

---------------------------------------------------

c)

1    1    0   0

1    2   -1   1

0    0    1   1

2    1    2   2

L2=L2-L1

L4=L4-2*L1

1    1    0   0

0    1   -1   1

0    0    1   1

0   -1    2   2

det=(1)^(1+1)* 1 * det (B)

B=

1   -1   1

0    1   1

-1    2   2

1   -1   1   1  -1

0    1   1   0   1

-1    2   2  -1   2

det=2+1+0-0-2+1= 2  

tem 4 dimensões , portanto, SIM geram o R4

Answer 2

Resposta:

a)

(1, 1, 1, 1)

(1, 0, 0, 1)

(0, 1, 0, 0)

(1, 1, 1, 0)

L2=L2-L1

L4=L4-L1

(1, 1, 1, 1 )

(0, -1, -1, 0 )

(0, 1, 0, 0 )

(0, 0, 0, -1)

det=(-1)^(1+1) * 1 * det A

A =

-1 -1 0

1 0 0

0 0 -1

A =

-1 -1 0 -1 -1

1 0 0 1 0

0 0 -1 0 0

det A=0+0+0-1+0+0 =-1 , diferente de zero

tem 4 dimensões , portanto, SIM geram o R4

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b)

Tem apenas 3 vetores, 3 dimensões, NÃO podem gerar o R4

c)

1 1 0 0

1 2 -1 1

0 0 1 1

2 1 2 2

L2=L2-L1

L4=L4-2*L1

1 1 0 0

0 1 -1 1

0 0 1 1

0 -1 2 2

det=(1)^(1+1)* 1 * det (B)

B=

1 -1 1

0 1 1

-1 2 2

1 -1 1 1 -1

0 1 1 0 1

-1 2 2 -1 2

det=2+1+0-0-2+1= 2

tem 4 dimensões , portanto, SIM geram o R4