Question

Quais das equações representa uma circunferência?
A) x2+3y2-6x+4y-9=0
B)x2+6x-4y+1=0
C) x2+y2+4xy-2=0
D) x2+y2-2x+4y+6=0
E) -x2-y2+8x-7=0

Answer 1

Para que uma equação da forma:

$a {x}^{2} + b {y}^{2} + cxy + dx + ey + f = 0$
represente uma circunferência, devem ser satisfeitas as seguintes condições:

•Os coeficientes devem pertencer ao conjunto dos reais e os coeficiente a,b e c não são simultaneamente nulos. 
• Os coeficientes a e b devem ser iguais e diferentes de zero.
• O coeficiente c dever ser igual a zero (c = 0). 
• Em uma equação da circunferência escrita na sua forma reduzida, o valor do segundo membro da igualdade deverá ser um valor positivo: (x – a)2 + (y – b)2 = k; k > 0. 

Portanto, a alternativa a não representa uma circunferência pois o coeficiente b é diferente do coeficiente a.

A alternativa b também não representa, pois o coeficiente b é nulo.

Na alternativa c, o coeficiente c é diferente de zero.

Passando a equação D) para a forma reduzida:
${x}^{2} + {y}^{2} - 2x + 4y + 6 = 0 \\ {x}^{2} - 2x + {y}^{2} + 4y = - 6 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = - 6 + 1 + 4 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = - 1 < 0$
Vê-se que a D) também não representa.

$- {x}^{2} - {y}^{2} + 8x - 7 = 0 \\ {x}^{2} + {y}^{2} - 8x + 7 = 0 \\ {x}^{2} - 8x + {y}^{2} = - 7 \\ {(x - 4)}^{2} + {y}^{2} = - 7 + 16 \\ {(x - 4)}^{2} + {y}^{2} = 9 > 0$

Logo, só a alternativa E) representa uma circunferência.