Question

Q77.parar determinarmos o número 'd' de diagonais de um polígono convexo de 'n' lados ,podemos utilizar a função
quadrática

d(n)=n^2-3n/2

A)quantas diagonais tem um pentágono convexo? E um polígono convexo de 20 lados?

B)quantos lados possui o polígono convexo que tem 54 diagonais? E o que tem 119 diagonais?

C)Ecuste algum polígono convexo que poasa 13 diagonais? justifique

Answer 1

Olá, tudo bem?

Letra A
Pelo enunciado, temos (d(n)=n^2-3n/2), logo:
- para polígono de 6 lados
d (6) = 6^2 - 3.6 /2
d (6) = 36 - 18 / 2
d (6) = 9 diagonais 

- para polígono de 20 lados
d (20) = 20^2 - 3.20/2
d (20) = 400 - 60 / 2
d (20) =  170 diagonais

Letra B
- lados para polígono de 54 diagonais
54 = n^2 - 3n /2
54 . 2 = n^2 - 3n
n^2 - 3n - 108 = 0 -> chegamos a uma equação do 2° grau, da qual precisamos encontrar o valor de "n" que satisfaça

Delta = b^2 - 4.a.c
Delta = (-3)^2 - 4.1.(-108)
Delta = 441 -> cuja raiz é 21

N' = -b + raiz de 441 / 2a
N' = -(-3) + 21 / 2.1 = 12 lados (CONVÉM)

N'' = -b - raiz de 441 / 2a
N'' = -(-3) - 21 / 2.1 = -9 (NÃO CONVÉM). 

Para polígono de 54 diagonais, há 12 lados.

- lados para polígono de 119 diagonais
119 = n^2 - 3n / 2
n^2 - 3n = 2.119
n^2 - 3n - 238 = 0  -> chegamos, novamente, a uma equação do 2° grau, da qual precisamos encontrar o valor de "n" que satisfaça

Delta = b^2 - 4.a.c
Delta = (-3)^2 - 4.1.(-238)
Delta = 961 -> cuja raiz é 31

N' = -b + raiz de 961 / 2a
N' = -(-3) + 31 / 2.1 = 17 lados (CONVÉM)

N'' = -b - raiz de 961 / 2a
N'' = -(-3) - 31 / 2.1 = -14 (NÃO CONVÉM). 

Letra C
13 = n^2 - 3n / 2
n^2 - 3n = 13.2
n^2 - 3n - 26 = 0

Delta = b^2 - 4.a.c
Delta = (-3)^2 - 4.1.(-26)
Delta = 113 -> cuja raiz é 31

Resposta : Não há esse polígono, pois o delta não possui raiz inteira. 

Espero ter ajudado e que seja isso. Sucesso nos estudos!!