Question

Q-29:alguém pode me ajudar com essa equação exponencial?
27*x^log x na base 3= x^4

Answer 1

Condição de existência: x > 0

Como

$27 {x}^{ log_{3}(x) } = {x}^{4}$

então


$log_{3}(27 {x}^{ log_{3}(x) } ) = log_{3}( {x}^{4} )$


Usando as propriedades do logaritmo, vem que:


$log_{3}(27 {x}^{ log_{3}(x) } ) = log_{3}( {x}^{4} ) \\ log_{3}(27) + log_{3}( {x}^{ log_{3}(x) } ) = 4 log_{3}(x) \\ 3 + log_{3}(x) log_{3}(x) = 4 log_{3}(x) \\ 3 + {( log_{3}(x) )}^{2} = 4 log_{3}(x) \\ {( log_{3}(x) )}^{2} - 4 log_{3}(x) + 3 = 0$


Fazendo:


$log_{3}(x) = y$



Temos que:


${y}^{2} - 4y + 3 = 0 \\ \\ delta = 16 - 12 = 4 \\ \\ y = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ \\ ou \\ \\ y = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$


Como

$log_{3}(x) = y$

então

1.

$log_{3}(x) = 3 < = > x = {3}^{3} < = > x = 27$

2.
$log_{3}(x) = 1 < = > x = {3}^{1} = 3$


Verificação:

$27 > 0 \: e \: 3 > 0$


S = {3, 27}