Question

(Pucsp 2017) Considere as funções



f(x)= x²/2 + b e g(x)= x + k, com b e k, números reais .sabendo q f(g(–5))= g(–2) e que g(f(–2))=12, o valor de f (–4) e igual a



A) g(g(0))


B) f(g(–3))


C) 2×f(2)


D) 5+g(1)

Answer 1

[B]
Se g(f(-2)) = 12, então (-2)2/2 + b + k = 12 → b = 10 - k
Se f(g(-5)) = g(-2), então (-5 + k)2/2 + 10 – k = - 2 + k → k = 7
Portanto, vem b = 3 e, assim, encontramos f(-4) = (-4)2/2 + 3 = 11 = f(g(-3))

Answer 2

O valor de f (–4) e igual a:

B) f(g(-3))

Se g(f(-2)) = 12, vamos substituir a função f na g, ou seja, trocar o x na função g pela função f e substituí-lo por -2.

Então:

(-2)²/2 + b + k = 12

4/2 + b + k = 12

4 + 2b + 2k = 24

2(b + k) = 24 - 4

2(b + k) = 20

b + k = 10

b = 10 - k

Se f(g(-5)) = g(-2), então

(- 5 + k)²/2 + b = - 2 + k

(- 5 + k)²/2 + 10 - k = - 2 + k

(- 5 + k)² + 20 - 2k = - 4 + 2k

25 - 10k + k² + 20 - 2k = - 4 + 2k

k² - 12k - 2k + 45 + 4 = 0

k² - 14k + 49 = 0

Resolvendo a equação do 2° grau, temos:

k = 7

Agora, calculamos o valor de b.

b = 10 - k

b = 10 - 7

b = 3

Por fim, o valor de f(-4).

f(x) = x²/2 + b

f(-4) = (-4)²/2 + 3

f(-4) = 16/2 + 3

f(-4) = 8 + 3

f(-4) = 11

É o mesmo valor de f(g(-3)). Veja:

f(g(-3)) = (- 3 + k)²/2 + b

f(g(-3)) = (- 3 + 7)²/2 + 3

f(g(-3)) = 4²/2 + 3

f(g(-3)) = 16/2 + 3

f(g(-3)) = 8 + 3

f(g(-3)) = 11