Question

puconha 2016

Os lados de um triângulo equilátero medem 5 cm. Unindo-se os pontos médios
de seus lados, obtém-se um novo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos mé-
dios dos lados do novo triângulo obtém-se outro triângulo e assim sucessivamente.
Qual é o limite da soma dos perímetros de todos os triângulos assim obtidos?

answer 30

resolucao???

Answer 1

triangulo 1
lado = L (5cm)
perimetro = L+L+L= 3*L

triangulo 2 (o tamanho dos lados sera metade do triangulo 1)
lado = L/2
perimetro = L/2 + L/2+L/2 = 3L/2

triangulo 3 (o tamanho dos lados sera metade do triangulo 2)
lado = L/4
perimetro = L/4 + L/4 +L/4 = 3L/4

.............
a soma dos perimetros de todos triangulos
$3L+ \frac{3L}{2}+ \frac{3L}{4} +...$

é uma pg de razão q=1/2
a soma de todos os termos da pg: é a soma de todos os perimetros:

$S= \frac{a_1}{1-q} \\\\S= \frac{3L}{1- \frac{1}{2} } = \frac{3L}{ \frac{1}{2} } = 3L*2 = 6L\\\\\text{como L=5}\\\\S=6*5=30$