Question

(PUCC-SP) A soma dos três termos de uma PA é 27 e seu produto é 720. Com base nisso, determine-os.

Answer 1

$ Ola Barbara

a1 = a - x
a2 = a
a3 = a + x

soma
3a = 27
a = 9

produto
(9 - x)*9*(9 + x) = 720

81 - x² = 80 

x² = 1
x = 1

PA
a1 = a - x = 9 - 1 = 8
a2 = a = 9
a2 = a + x = 9 + 1 = 10 

x = -1

a1 = a - x = 9 + 1 = 10
a2 = a = 9 
a3 = a + x = 9 - 1 = 8 

PA1 = (8,9,10)
PA2 = (10,9,8)

pronto

Answer 2

Vejamos:

PA(a1, a2, a3)

Sabemos pelo enunciado que:
*A soma dos três termos de uma PA é 27.
a1 + a2 + a3 = 27

*O produto dos três termos da PA é 720.
a1 . a2 . a3 = 720.

A grande questão é... COMO DETERMINAR QUAIS SÃO ESSES TRÊS TERMOS (a1, a2 e a3).

Pensemos...
Temos duas informações que envolvem os mesmos três termos. Ou seja, caso conseguíssemos simplifica-los em duas incógnitas, poderíamos criar um sistema!

Notemos:
PA (a1, a2, a3)
          r      r

a1
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r

Dessa forma teremos somente duas variáveis: a1 e o "r" (razão da PA).

Sistema:

{a1 + a2 + a3 = 27
{a1 . a2 . a3 = 720

{a1 + a1 + r + a1 + 2r = 27
{a1. (a1 + r) . (a1 + 2r) = 720

{3a1 + 3r = 27
{a1. (a1 + r) . (a1 + 2r) = 720

{a1 + r = 27/3
{a1. (a1 + r) . (a1 + 2r) = 720

{a1 + r = 9
{a1. (a1 + r) . (a1 + 2r) = 720

Temos que: 
a1 + r = 9
e que:
a1 + r = 9
a1 = 9 - r

Logo:

a1. (a1 + r) . (a1 + 2r) = 720
(9 - r) . (9) . (9 - r + 2r) = 720
(81 - 9r) . (9 + r) = 720
729 - 81r + 81r -9r² = 720
-9r² = 720 - 729
-9r² = -9
9r² = 9
r² = 9/9
r² = 1
r = ± 1

Logo a1 = 
Sendo r = 1
a1 = 9 - r
a1 = 9 - 1
a1 = 8 

ou
Sendo r = -1
a1 = 9 - r
a1 = 9 - (-1)
a1 =9 + 1
a1 = 10

Para determinar a2 e a3 basta relembrar de:
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r

Para r = 1 e a1 = 8 
a2 = a1 + r
a2 = 8 + 1
a2 = 9

a3 = a1 + 2r
a3 = 8 + 2.(1)
a3 =  8 + 2
a3 = 10

Para r = -1 e a1 = 10
a2 = a1 + r
a2 = 10 + (-1)
a2 = 9

a3 = a1 + 2r
a3 = 10 + 2.(-1)
a3 = 10 - 2
a3 = 8

Portando desvendamos duas possíveis PAs:

A PA crescente:
PA(8, 9, 10)

A PA decrescente:
PA(10, 9, 8)