Question

(PUC-SP MODELO ENEM) Um artesão possui uma folha de papelão de formado retangular, cuja medida do comprimento é igual ao dobro da medida da largura, e pretende usá-la para construir uma caixa aberta, recortando em cada quina da folha um quadraďo de 3cm de lado. Sabendo que, ao ficar pronta, o volune da caixa sera de 324m³, então a área de sua superfície externa, em centímetros quadrados, será igual a:

a)360
b)358
c)274
d)268
e)252

-alternativa correta E
mas não sei como chegar no resultado.​

Answer 1

Alternativa E: 252 cm².

Inicialmente, vamos considerar o pedaço de papelão retangular, com medidas x e 2x, uma vez que o comprimento é o dobro da largura. Vamos descontar as medidas referentes aos quadrados cortados. Dessa forma, temos uma medida de 2x-6 e outra medida de x-6.

Agora, vamos levantar os lados do papelão para montar a caixa aberta. Veja que o comprimento e a largura da caixa serão as medidas previamente calculadas, enquanto a altura da caixa será igual a 3 cm. Calculando o volume e igualando a 324 m³, obtemos a seguinte expressão:

$324=3(2x-6)(x-6) \\ \\ 108=2x^2-18x+36\\ \\ 2x^2-18x-72=0 \ (\div 2) \\ \\ x^2-9x-36=0$

Veja que temos uma equação do segundo grau. Vamos resolver ela e encontrar os possíveis valores de X utilizando o método de Bhaskara. Assim:

$x_1=\frac{9+\sqrt{(-9)^2-4\times 1\times (-36)}}{2\times 1}=12 \\ \\ \\ x_2=\frac{9-\sqrt{(-9)^2-4\times 1\times (-36)}}{2\times 1}=-3$

Devemos descartar a raiz negativa, pois medidas não podem ter valores negativos. Com isso, concluímos que o valor de x é igual a 12. Por fim, podemos determinar os lados da caixa e a área externa, composta pelos quatro lados e o fundo:

$Comprimento=2\times 12-6=18 \ cm \\ \\ Largura=12-6=6 \ cm \\ \\ \\ A_{ext}=2\times (3\times 18)+2\times (3\times 6)+18\times 6 \\ \\ A_{ext}=252 \ cm^2$