Question

PUC Rs _ Foi construído, No plano de argand gauss, um polígono cujos vértices estao sobre as raízes do polinomio p (z) = z^4 -16 em C. A área desse polígono, em unidades de área é

Answer 1

O polinômio p(z) = z^4 - 16 pode ser escrito na forma de produto notável (a-b)(a+b), onde a = z² e b = 4, portanto, temos:

p(z) = (z²-4)(z²+4)

Note que agora o termo (z²-4) também pode ser escrito como (a-b)(a+b) onde dessa vez a = z e b = 2, então:

p(z) = (z-2)(z+2)(z²+4)

As raízes de p(z) podem ser encontradas quando p(z) = 0, e isto acontece quando:

z - 2 = 0 >>>> z = 2

z + 2 = 0 >>>> z = -2

z²+ 4 = 0 >>>> z = √-4 >>>>> z = ±2i

Os vértices são (2, 0), (-2, 0), (0, 2) e (0, -2), que forma um quadrado de lado igual a 2√2. Então a área deste polígono será igual a 8 u.m.².