Question

PUC PR Para embalar e despachar uma determinada quantidade ímpar de blocos lógicos idênticos, um dos funcionários da

empresa BLOK precisava optar, necessariamente, por um único tipo de caixa de forma tal que todas ficassem completamente cheias e a maior quantidade possível das unidades disponíveis pudessem ser despachadas. A empresa
dispunha apenas de caixas com capacidades para um total de 9, 7 ou 5 blocos e, após analisar as possibilidades de
envio, o funcionário optou pelas caixas de maior capacidade, pois, dessa forma, apenas um dos blocos não foi despachado. A opção por caixas com 7 blocos faria com que sobrassem exatamente 5 e se tivessem sido fabricados mais 2
deles – o que já não era possível, por questões técnicas – todos poderiam ter sido enviados em caixas com 5 blocos
cada. Em todas as situações, havia caixas suficientes de cada um dos três tipos.

Sabendo que a quantidade total de blocos era representada por um número de três algarismos, determine o produto
desses algarismos

a) 0
b) 16
c) 10
d) 30
e) 192.

gabarito d​

Answer 1

Tá, considere que X, Y e Z, são respectivamente os números de caixas de maior, média e menor capacidade.

Assim sendo, de acordo com os dados do problema:

$n_b = 9 \cdot X + 1$

$n_b = 7 \cdot Y + 5$

$n_b = 5 \cdot Z - 2$

onde $n_b$ é o número total de blocos lógicos.

Vamos nos atentar à terceira equação primeiro. Se eu passar o dois para o outro lado da igualdade:

$n_b + 2 = 5 \cdot Z$

Ou seja, o número de blocos adicionado de 2 se torna múltiplo de 5.

Um número múltiplo de 5, só pode terminar em 0 ou 5.

Ou seja, se diminuirmos 2 unidades, saberemos que o último dígito do número de blocos termina com 8 ou termina com 3. (10 - 2 = 8, 5 - 2 = 3)

Só que o enunciado já disse que a quantidade de blocos é ímpar.

Então o último dígito do número de blocos lógicos só pode ser 3.

Agora, se olharmos a primeira equação:

$n_b = 9 \cdot X + 1$

Passando o 1 para a esquerda:

$n_b - 1 = 9 \cdot X$

Isto é, se diminuirmos 1 do número de blocos, este se torna múltiplo de 9. Então, precisamos encontrar números múltiplos de 9 que terminam em 2 (3 - 1)

Lembra da tabuada do 9?

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 (Apenas o 72 termina em 2)

Qualquer número na seguinte progressão respeita essa regra:

$90 \cdot k + 72\text{ , k = 1, 2, 3...}$

Da mesma forma, com a segunda equação:

$n_b - 5 = 7 \cdot Y$

Se diminuirmos 5 do número de blocos, este se torna múltiplo de 7.

Então precisamos encontrar números múltiplos de 7 que terminam em 8 (13 - 5 = 8).

Na tabuada do 7:

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 (Apenas o 28 termina em 8)

Assim, nesse caso teremos a seguinte progressão:

$70 \cdot n + 28\text{, n =2,3,4, 5...}$

Agora, a questão é a seguinte, se escrevermos os termos das duas progressões:

a) 162, 252, 342, 432, 522, 612, 702, 792, 882, 912

b) 168, 238, 308, 378, 448, 518, 588, 658, 728, 798, 868, 938

Perceba que a diferença do número de blocos que sobram quando se utiliza a caixa de 9 blocos (1) e a caixa de 7 blocos (5) é 4.

Assim, comparando as progressões a) e b) , podemos perceber que apenas em um caso, essa diferença é respeitada:

a) 522

b) 518

Desta forma:

522+ 1 = 523

518 + 5 = 523

Descobrimos que o número total de blocos lógicos é 523.

Agora basta multiplicar os dígitos para conhecer a resposta:

$5 \cdot 2 \cdot 3 = \boxed{30}$

Alternativa D