Question

(PUC- MG) Sabe-se que a população de certa cidade cresce exponencialmente de acordo com a função p = f(x) do gráfico, onde t é o tempo em anos e p, a população em milhares de habitantes De acordo com as informações desse gráfico, o valor aproximado de t para que se tenha p = 160 é: a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32​

Answer 1

Uma função exponencial é dada por:

$f(x) = k \cdot a^x$

Onde $a$ e $k$ representam constantes.

Olhando para os dados no gráfico, obtemos:

$f(4) = 20$

$f(8) = 40$

$f(12) = 80$

Utilizando esses dados, tentamos encontrar o valor das incógnitas:

$f(4) = k \cdot a^4 = 20$

Isolando $k$:

$k = \dfrac{20}{a^4}$

Agora utilizando o segundo ponto:

$f(8) = k \cdot a^8 = 40$

Isolando novamente $k$:

$k = \dfrac{40}{a^8}$

Agora, igualando as duas expressões para $k$, obtemos $a$:

$\dfrac{20}{a^4} = \dfrac{40}{a^8}$

$\dfrac{a^8}{a^4} = \dfrac{40}{20}$

$a^4 = 2$

$\boxed{a = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}}$

Nos servimos desta informação para descobrir o valor de $k$:

$k = \dfrac{20}{a^4}$

$k = \dfrac{20}{2^{\frac{1}{4}}^4}$

$k = \dfrac{20}{2^{\frac{4}{4}}}$

$k = \dfrac{20}{2^1}$

$\boxed{k = 10}$

Agora, sabendo que:

$\boxed{p(t) = 10 \cdot 2^{\frac{t}{4}}}$

Queremos descobrir o valor de t para que se tenha p = 160:

$160 = 10 \cdot 2^{\frac{t}{4}}$

$\dfrac{160}{10} = 2^{\frac{t}{4}}$

$16 = 2^{\frac{t}{4}}$

$2^4 = 2^{\frac{t}{4}}$

Assim:

$4 = \dfrac{t}{4}$

E:

$\boxed{t = 16 \text{ anos}}$