Question

(PUC/MG)- O triângulo da figura tem o lado AB sobre a reta 3x-y+3=0 e o lado BC sobre a reta 3x+2y-6=0. Qual o valor da área do triângulo ABC?

A resposta é 4,5 mas como resolver?

Answer 1

Acho que dá para fazer por matrizes, mas eu vou fazer da forma mais geométrica :

Como podemos achar a base b e a altura h, então :

A = b * h / 2

A  →  Área do triângulo;
b  →  Base do triângulo;
h  → Altura do triângulo...


Distância entre dois pontos genéricos M e N ⇒

d(MN) = √((xM - xN)² + (yM - yN)²)
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Achando o ponto A (sobre a reta 3*x - y + 3 = 0) ⇒

Vou deixar a eq. dessa reta na forma reduzida:

3*x - y + 3 = 0

y = 3*x + 3 

O ponto A tem ordenada 0 (está sobre o eixo X). Como ele pertente à reta, então :

0 = 3 * xA + 3

-3 = 3 * xA

xA = -1 → Abcissa do ponto A !

Logo, A(-1,0).

Achando o ponto C (sobre a reta 3*x + 2*y - 6 = 0) ⇒

Deixando na forma reduzida:

3*x + 2*y - 6 = 0

2*y = -3*x + 6 

y = -3/2*x + 3

Da mesma forma, o ponto C também tem ordenada 0. Como ele pertence à reta :

0 = -3/2*xC + 3

3/2*xC = 3

xC = 3*2 / 3

xC = 2 → Abcissa do ponto C !

Logo, C(2,0).

A base b do triângulo é a distância entre C e A.

b = √((xC - xA)² + (yC - yA)²)

Sendo, para A(-1,0) e C(2,0) : xA → -1; xC → 2; xC e yC = 0 :

b = √((2 - (-1))² + (0 - 0)²)

b = √(2 + 1)²

b = √(3)² ⇒ Cancelando raiz quadrada com expoente quadrado :

b = 3 → Base do triângulo !

As duas retas (y = -3/2*x + 3 e y = 3*x + 3 ) se encontram em cima do  eixo Y, isso porque seus coeficientes lineares (termo independente da eq.) são iguais. 

 A altura h é o coeficiente linear das retas (que é igual). lembrando que o coeficiente linear de uma reta é o ponto onde a reta cruza o eixo Y (e onde X = 0).

Logo, h = 3. (Qualquer coisa, só substituir x por 0 em qualquer uma das equações).

Logo, A = b * h / 2 ⇒ Sendo : b = 3 e h = 3 →

A = 3 * 3 / 2

A = 9  / 2 

A = 4,5 unidades quadradas (u²) ⇒ Área do triângulo !