Question

Prove que todo palindromo com par dígitos é divisível por 11.

Answer 1

Seja $\text{ABBA}$ um palíndromo de $4$ algarismos.

Temos que:

$\text{ABBA}=1000\text{A}+100\text{B}+10\text{B}+\text{A}$

$\text{ABBA}=1001\text{A}+110\text{B}=11\cdot(91\text{A}+10\text{B})$

Logo, $\text{ABBA}$ é divisível por $11$

Considere agora $\text{ABCCBA}$, um palíndromo de $6$ algarismos.

$\text{ABCCBA}=100000\text{A}+10000\text{B}+1000\text{C}+100\text{C}+10\text{B}+\text{A}$

$\text{ABCCBA}=100001\text{A}+10010\text{B}+1100\text{C}=11\cdot(9091\text{A}+910\text{B}+100\text{C})$

Assim, $\text{ABCCBA}$ é divisível por $11$

Considere agora um palíndromo formado por $2n$ algarismos $\text{A}_1\text{A}_2\text{A}_3\dots\text{A}_3\text{A}_2\text{A}_1$

Temos que:

$\text{A}_1\text{A}_2\dots\text{A}_2\text{A}_1=10^{2n-1}\cdot\text{A}_1+10^{2n-2}\cdot\text{A}_2+\dots+10^{1}\text{A}_2+10^{0}\cdot\text{A}_1$

$\text{A}_1\text{A}_2\dots\text{A}_2\text{A}_1=(10^{2n-1}+10^0)\cdot\text{A}_1+(10^{2n-2}+10^1)\cdot\text{A}_2+\dots$

Note que $10\equiv-1\pmod{11}$. Com isso:

$10^{2n-1}\equiv(-1)^{2n-1}\equiv-1\pmod{11}$, pois $2n-1$ é um número ímpar e $-1$ elevado a um expoente ímpar sempre resulta em $-1$

Logo, $10^{2n-1}+10^{0}\equiv-1+10^{0}\equiv-1+1\equiv0\pmod{11}$

Analogamente:

$10^{2n-2}+10^1\equiv(-1)^{2n-2}+10\equiv1+(-1)\equiv0\pmod{11}$

$10^{2n-3}+10^2\equiv(-1)^{2n-3}+(-1)^2\equiv-1+1\equiv0\pmod{11}$

Note que em cada par de potências de $10$, temos uma com expoente ímpar e outra com expoente par, de modo que, uma deixa resto $-1$ e a outra deixa resto $1$ na divisão por $11$, logo, a soma de cada par de potências é divisível por $11$, e portanto, $\text{A}_1\text{A}_2\text{A}_3\dots\text{A}_3\text{A}_2\text{A}_1$ é divisível por $11$.