Question

Prove que $n^{3} -n$ é divisível por 3, para todo n inteiro e positivo .

Answer 1

Inicialmente, vamos fatorar a expressão que queremos analisar:

$n^3-n=n(n^2-1)\\\\ n^3-n=n(n-1)(n+1)\\\\ n^3-n=(n-1)n(n+1)$

Poderíamos simplesmente argumentar que, como chegamos em um produto de três números consecutivos, certamente teríamos de ter um fator múltiplo de 3. Entretanto, vamos estudar a divisibilidade de um modo que pode ser mais utilizado em outras ocasiões.

Podemos escrever $n$ de três formas diferentes: $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$, para valores de $n$ que deixam, respectivamente, $0$, $1$ ou $2$ como resto na divisão por 3. Vamos analisar a expressão dada para cada um dos casos:

⇒ Se $n=3k$, isto é, se $n$ é múltiplo de 3:

$n^3-n=(n-1)n(n+1)\\\\ n^3-n=(3k-1)3k(3k+1)\\\\ n^3-n=\bold{3}[(3k-1)k(3k+1)]$

Note que há um fator 3 (colocado em negrito) multiplicando toda a expressão. Logo, neste caso, ela é um múltiplo de 3.

⇒ Se $n=3k+1$, isto é, se $n$ deixa resto 1 na divisão por 3:

$n^3-n=(n-1)n(n+1)\\\\ n^3-n=((3k+1)-1)(3k+1)((3k+1)+1)\\\\ n^3-n=(3k)(3k+1)(3k+2)\\\\ n^3-n=\bold{3}[k(3k+1)(3k+2)]$

Note que novamente há um fator 3 (colocado em negrito) multiplicando toda a expressão. Logo, ela é um múltiplo de 3.

⇒ Se $n=3k+2$, isto é, se $n$ deixa resto 2 na divisão por 3:

$n^3-n=(n-1)n(n+1)\\\\ n^3-n=((3k+2)-1)(3k+2)((3k+2)+1)\\\\ n^3-n=(3k+1)(3k+2)(3k+3)\\\\ n^3-n=\bold{3}[(3k+1)(3k+2)(k+1)]$

Mais uma vez, há um fator 3 (colocado em negrito) multiplicando toda a expressão. Logo, ela é um múltiplo de 3.

Portanto, a expressão é divisível por 3 para qualquer valor de inteiro de $n$.  $\blacksquare$