Question

Prove que $\mathsf{2^{70}+3^{70}}$ é divisível por 13.



__________________________

Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Conheço dois modos, mas farei o que usa aritmética modular por simplicidade


Note que 2⁷≡11≡-2 (mód 13)

Então pelas propriedades que temos de mód, segue que:

(2⁷)¹⁰≡(-2)¹⁰≡1024≡10 (mód 13)

Agora veja que

3³≡1 (mód 13), então:

3⁶⁹≡1 (mód 13), logo:

3⁷⁰≡3⁶⁹.3≡1.3 (mód 3)

Portanto 2⁷⁰+3⁷⁰≡10+3≡13≡0 (mód 13) cqp.

Answer 2

Provar que 13 divide 2⁷⁰ + 3⁷⁰.

=====

Partindo daqui:

64 + 1 = 65
2⁶ + 1 = 5 · 13

⇒ 2⁶ ≡ − 1 (mod 13).

Portanto,

(2⁶)¹¹ ≡ (− 1)¹¹ (mod 13)
⇒ 2⁶⁶ ≡ − 1 (mod 13)
⇒ 2⁶⁶ · 2⁴ ≡ − 1 · 2⁴ (mod 13)
⇒ 2⁷⁰ ≡ − 16 (mod 13)
⇒ 2⁷⁰ ≡ − 16 + 13 (mod 13)

⇒ 2⁷⁰ ≡ − 3 (mod 13) (i)

=====

Temos também que

27 − 1 = 26
3³ − 1 = 2 · 13

⇒ 3³ ≡ 1 (mod 13)

e dessa forma,

(3³)²³ ≡ 1²³ (mod 13)
⇒ 3⁶⁹ ≡ 1 (mod 13)
⇒ 3⁶⁹ · 3 ≡ 1 · 3 (mod 13)

⇒ 3⁷⁰ ≡ 3 (mod 13) (ii)

=====

Poi (i) e (ii), temos que

2⁷⁰ + 3⁷⁰ ≡ − 3 + 3 ≡ 0 (mod 13).

Logo, 13 divide 2⁷⁰ + 3⁷⁰.

Bons estudos! :-)