Question

prove que tagx+cotgx=2cossec2x​

Answer 1

Conforme os cálculos abaixo, fica provado que a equação dada é verdadeira.

Resolução:

Comecemos por relembrar algumas Fórmulas Trigonométricas:

$\bullet\quad\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\\\\\bullet\quad\tan{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\\\\\bullet\quad\cot{x}=\dfrac{1}{\tan{x}}\\\\\bullet\quad\csc{x}=\dfrac{1}{\sin{x}}\\\\\bullet\quad\sin{x}\times\cos{x}=\dfrac{\sin{2x}}{2}$

Com estas fórmulas em mente, podemos resolver este exercício.

    $\tan{x}+\cot{x}=2\csc{(2x)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\tan{x}+\dfrac{1}{\tan{x}}=2\times\dfrac{1}{\sin{(2x)}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\tan{x}+\dfrac{1}{\tan{x}}=\dfrac{2}{\sin{(2x)}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}+\dfrac{1}{\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}}=\dfrac{2}{\sin{(2x)}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}+\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}=\dfrac{2}{\sin{(2x)}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\sin^2{x}}{\cos{x}\times\sin{x}}+\dfrac{\cos^2{x}}{\cos{x}\times\sin{x}}=\dfrac{2}{\sin{(2x)}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\cos{x}\times\sin{x}}=\dfrac{2}{\sin{(2x)}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{\cos{x}\times\sin{x}}=\dfrac{2}{\sin{(2x)}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{\dfrac{\sin{2x}}{2}}=\dfrac{2}{\sin{(2x)}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sin{2x}}=\dfrac{2}{\sin{(2x)}}\quad\text{Como queriamos provar}$

Fica assim provado que a equação dada é verdadeira.

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Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

Vamos desenvolver o primeiro membro e char ao segundo:

$tgx + cotgx = \frac{senx}{cosx} +\frac{cosx}{senx} =\frac{sen^2x+cos^2x}{senx.cosx} =\frac{1}{senx.cosx} =\frac{2}{2senx.cosx}=\frac{2}{sen2x}=2cossec2x$