Question

Prove que se a e b são números racionais, então a+b e ab são números racionais.

Answer 1

Observação: Primeiramente, se $p,q$ são números inteiros, então $p+q$ e $pq$ são números inteiros.

Um número racional é da forma $\frac{p}{q}$ onde $p,q$ são inteiros.

Seja, então $a=\frac{p}{q}$ e $b=\frac{p'}{q'}$ números racionais.

Temos que

$a+b = \frac{p}{q} + \frac{p'}{q'} = \frac{pq'+p'q}{qq'}$

é racional, pois, pela observação do começo, o numerador $pq' +p'q$ e o denominador $qq'$ são inteiros.

Temos também que

$a.b = \frac{p}{q}.\frac{p'}{q'} = \frac{pp'}{qq'}$

é racional, também pela observação do começo.