Question

Prove que o quadrado de um número não divisivel por 4 pode ou ser divisível por 4 ou deixar resto 1 ao ser divisível por 4.

Eu sei que os não divisíveis por 4 são:

4n+1, 4n+2 e 4n+3

Fiz todos os cálculos e tanto o 4n+1^2 como o 4n+3^2 deixavam resto 1 após serem divididos por 4.
No entanto o 4n+2^2 deixava resto 4 (4k+4), está correto? Obrigada desde já!​

Answer 1

Vamos calcular o quadrado dos números na forma $4n + 2.$ com $n \in \mathbb{Z}.$

Note que:

${(4n + 2)}^{2} = 16 {n}^{2} + 2 \cdot4n \cdot2 + {2}^{2} = \\ = 16 {n}^{2} + 16n + 4 = \\ = 4(4 {n}^{2} + 4n + 1)$

Ou seja, o quadrado dos números não divisíveis por 4 na forma 4n + 2 é divisível por 4, pois ele é múltiplo de 4.