Question

"Prove que o produto de duas funções impares é uma função par"

Answer 1

Sejam $f$ e $g$ funções ímpares de mesmo domínio $D.$

($D$ é um domínio simétrico)


Dessa forma, para todo $x\in D,$

$f(-x)=-f(x)~~\text{ e }~~g(-x)=-g(x)~~~~~~\mathbf{(i)}$

___________

Consideremos a função $h:~D\to\mathbb{R}$ definida por

$h(x)=f(x)\cdot g(x)\,,~~~\text{para todo }x\in D.$


Como $D$ é um domínio simétrico, para todo $x\in D,\,~-x\in D.$ Logo, podemos calcular

$h(-x)=f(-x)\cdot g(-x)\\\\ =[-f(x)]\cdot [-g(x)]\\\\ =f(x)\cdot g(x)\\\\ =h(x)\\\\\\ \therefore~~h(-x)=h(x)~~\Rightarrow~~h\text{ \'{e} fun\c{c}\~{a}o par.}$

como queríamos demonstrar.