Matemática, perguntado por linemaroacarvalho, 1 ano atrás

Prove que o produto de dois números pares é um número par

Soluções para a tarefa

Respondido por mlestudande

Seja 2m e 2n dois números inteiros. 2m e 2n E Z. (E:pertence)
2m e 2n representam números pares.
2m+2n=2(m+n) => a soma de dois números inteiros é um número inteiro.
seja m+n=p
2m+2n=2p
2p é par dado que o produto realizado entre qualquer inteiro por 2 é par.

Respondido por solkarped

✅ Após desenvolver toda a demonstração algébrica, concluímos que o produto de dois números pares resulta sempre em um número:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Par\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a proposição:

"O produto de dois números pares é sempre par."

Para provarmos esta proposição devemos utilizar o processo algébrico.

Reescrevendo a referida proposição na forma "se/então", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\underbrace{Se\:x\:\acute{e}\:par\:e\:y\:\acute{e}\:par}_{\bf hip\acute{o}se},\:\underbrace{ent\tilde{a}o\:x\cdot y\:\acute{e}\:par.}_{\bf tese} \end{gathered}$}$

Se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\:\acute{e}\:par\Longrightarrow \exists\lambda\in\mathbb{Z}\:|\:x = 2\lambda \end{gathered}$}$

E, se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y\:\acute{e}\:par\Longrightarrow \exists\gamma\in\mathbb{Z}\:|\:y = 2\gamma \end{gathered}$}$

Desta forma, podemos dizer que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y = 2\lambda\cdot2\gamma \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 4\lambda\gamma \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 2(2\lambda\gamma) \end{gathered}$}$

Portanto:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y = 2\cdot\underbrace{(2\lambda \gamma)}_{\bf k} \end{gathered}$}$

Desta forma, temos que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(III) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y = 2k,\:\:\:\forall k\in\mathbb{Z} \end{gathered}$}$

Como o segundo membro da equação "III" é igual ao dobro do número inteiro "k" e sabendo que o dobro de qualquer número inteiro é sempre um número par, então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y\:\:\:\acute{e}\:\:\:par \end{gathered}$}$