Question

Prove que não existem soluções inteiras e positivas para a equação $3^m + 3^n + 1 = t^2$

Answer 1

Note que:

$3^1=03~~~~~~~~~3^1\equiv3\pmod{8}$
$3^2=09~~~~~~~~~3^2\equiv1\pmod{8}$
$3^3=27~~~~~~~~~3^3\equiv3\pmod{8}$
$3^4=81~~~~~~~~~3^4\equiv1\pmod{8}$

Como $3^{2}\equiv1\pmod{8}$, então $3^{2n}\equiv(3^2)^{n}\equiv1^{n}\equiv1\pmod{8}$.

Ou seja, toda potência de $8$ com expoente par deixa resto $1$ na divisão por $8$

Analogamente, $3^{2n+1}\equiv3^{2n}\cdot3\equiv3\pmod{8}$. E as potências com expoente ímpar deixam resto $3$.

Desse modo, para $3^{m}+3^{n}+1$ temos $3$ possibilidades em relação ao resto na divisão por $8$.

$3^{m}+3^{n}+1\equiv1+1+1\equiv3\pmod{8}$
$3^{m}+3^{n}+1\equiv1+3+1\equiv5\pmod{8}$
$3^{m}+3^{n}+1\equiv3+3+1\equiv7\pmod{8}$

Vamos agora analisar $t^2$:

$1^2=01~~~~~~~~~~~1^2\equiv1\pmod{8}$
$2^2=04~~~~~~~~~~~2^2\equiv4\pmod{8}$
$3^2=09~~~~~~~~~~~3^2\equiv1\pmod{8}$
$4^2=16~~~~~~~~~~~4^2\equiv0\pmod{8}$
$5^2=25~~~~~~~~~~~5^2\equiv1\pmod{8}$
$6^2=36~~~~~~~~~~~6^2\equiv4\pmod{8}$
$7^2=49~~~~~~~~~~~7^2\equiv1\pmod{8}$
$8^2=64~~~~~~~~~~~8^2\equiv0\pmod{8}$
$9^2=81~~~~~~~~~~~9^2\equiv1\pmod{8}$
$10^2=100~~~~~~~~10^2\equiv4\pmod{8}$

Desse modo, $t^2$ só pode deixar resto $0,1$ ou $4$ na divisão por $8$.

Como $3^{m}+3^{n}+1$ só deixa resto $3,5$ ou $7$, temos que $3^{m}+3^{n}+1$ não pode ser igual a $t^2$

E, portanto, não existem soluções inteiras e positivas para essa equação.