Question

Prove que dadas as retas r: a1 x + b1 y + c1 = 0 e s: a2x + b2 y + c2 = 0, elas são perpendiculares entre si se, somente se a1a2+ b1b2 = 0

Answer 1

Segundo a perpendicularidade das retas, conseguimos demonstrar que elas só são perpendiculares se, e somente se $\boxed{\bf a_1a_2+ b_1b_2 = 0}$

Explicação

Temos as seguintes retas:

$\: \: \: \: \: \begin{cases}r : \: \: a_{1}x + b_{1}y+ c_{1} = 0 \\s : \: \: a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \end{cases}$

O objetivo é encontrarmos uma relação que prove a perpendicularidade destas retas.

• Forma canônica:

Para iniciar o cálculo, vamos colocar ambas as retas na forma padrão, isto é: $\boxed{ \bf y = ax + b}$.

• Onde $\bf a$ e $\bf b$ são respectivamente o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta.

Portanto vamos isolar y de ambas as equações.

$r : \: a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0 \: \to \: \begin{cases} b_{1}y = - a_{1}x - c_{1} \\ y = \normalsize - \frac{a_{1} }{b_{1} } x - \frac{c_{1} }{b_{1} } \end{cases} \\ \\ s : \: a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \: \to \: \begin{cases} b_{2}y = - a_{2}x - c_{2} \\ y = \normalsize - \frac{a_{2} }{b_{2} } x - \frac{c_{2} }{b_{2} } \end{cases}$

Tendo feito isto, vamos passar para o próximo passo.

• Coeficiente angular:

Para duas retas serem perpendiculares, devem cumprir com a exigência de que o coeficiente angular de uma, deve ser o inverso do oposto da outra. Matematicamente:

$\: \: 1) \: m_r = \frac{-1}{m_s } \: \:{ \rm ou }\: \: \: 2) \: m_s =\frac {-1}{m_r}$

Como foi dito anteriormente, o coeficiente angular é aquele que acompanha x. Observando a operação que fizemos logo acima, vemos que:

$m_r = \boxed{ - \frac{a_{1} }{b_{1} }} x - \frac{c_{1} }{b_{1} } \: \: \: \bigg | \: \: \: m_s= \boxed{ - \frac{a_{2} }{b_{2} }} x - \frac{c_{2} }{b_{2} }$

Portanto vamos substituir estes coeficientes na relação da perpedicularidade citada.

$- \frac{a_{1} }{b_{1}} = \frac{ - 1}{ - \frac{a_{2} }{b_{2}} } \: \: \: \to \: \: \: - \frac{a_{1} }{b_{1}} = - \frac{1}{1}. \left( - \frac{b_{2}}{a_{2}} \right) \\ \\ - \frac{a_{1} }{b_{1}} = \frac{b_{2} }{a_{2}} \: \: \to \: \: - a_{1} \cdot a_{2} = b_{1} \cdot b_{2} \\ \\ \boxed{a_{1} \cdot a_{2} + b_{1} \cdot b_{2} = 0}$

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Espero ter ajudado