Question

Prove que: cos (alfa + beta) + cos (alfa - beta) = 2 * cos(alfa) * cos(beta)

Answer 1

Temos o seguinte desafio:

Prove que:

$\cos (\alpha + \beta) + cos (\alpha - \beta) = 2 \cos(\alpha) cos(\beta)$

Primeiro devemos lembrar das fórmulas de adição de arco do cosseno, dada por:

$\cos( \alpha + \beta ) = \cos( \alpha ). \cos( \beta ) - \sin( \alpha ). \sin( \beta ) \\ \cos( \alpha - \beta ) = \cos( \alpha ). \cos( \beta ) + \sin( \alpha ). \sin( \beta )$

Substituindo, temos que:

$\cos (\alpha + \beta) + cos (\alpha - \beta) = 2 \cos(\alpha) \cos(\beta) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \cos( \alpha ). \cos( \beta ) - \sin( \alpha ). \sin( \beta ) + \cos( \alpha ). \cos( \beta ) + \sin( \alpha ). \sin( \beta ) = 2 \cos( \alpha ). \cos( \beta ) \\ \cos( \alpha ). \cos( \beta ) + \cos( \alpha ). \cos( \beta ) + \cancel{ \sin( \alpha ). \sin( \beta ) }- \cancel{ \sin( \alpha ). \sin( \beta ) }= 2 \cos( \alpha ). \cos( \beta ) \\ \boxed{ 2 \cos( \alpha ). \cos( \beta ) = 2 \cos( \alpha ). \cos( \beta )}$

Ptonto, está provado.

Espero ter ajudado