Question

prove que:

A U (B-A) = A U B

Answer 1

Explicação passo a passo:

Dados dois conjuntos A e B, provar que

     A U (B-A) = A U B.

Demonstração:

     (⟶) Seja $x\in A\cup (B-A)$ Logo,

     $\Longrightarrow\quad x\in A\quad\mathrm{ou}\quad x\in (B-A)$

Temos dois casos a considerar:

• Se $x\in A,$ então

     $\Longrightarrow\quad x\in A\quad\mathrm{ou}\quad x\in B\quad\Longleftrightarrow\quad x\in A\cup B\qquad\mathrm{(i)}$

• Se $x\in (B-A),$ então

     $\Longrightarrow\quad x\in B\quad\mathrm{e}\quad x\not\in A\\\\ \Longrightarrow\quad x\in B\\\\ \Longrightarrow\quad x\in B\quad\mathrm{ou}\quad x\in A\\\\ \Longrightarrow\quad x\in A\cup B\qquad\mathrm{(ii)}$

Por (i) e (ii), temos

     $\Longrightarrow\quad x\in A\cup B$

Portanto, $A\cup (B-A)\subset A\cup B.$

     (⟵) Seja $x\in A\cup B.$ Estudemos estes dois casos:

• Se $x\in A,$ então

     $\Longrightarrow\quad x\in A\quad\mathrm{ou}\quad x\in (B-A) \quad\Longleftrightarrow\quad x\in A\cup (B-A) \qquad\mathrm{(iii)}$

• Se $x\not\in A,$ como $x\in A\cup B$, devemos ter necessariamente

     $\Longrightarrow\quad x\in B$

Então, nesse caso temos

     $\Longrightarrow\quad x\in B\quad\mathrm{e}\quad x\not\in A\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\in (B-A)\\\\ \Longrightarrow\quad x\in (B-A)\quad\mathrm{ou}\quad x\in A\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\in A\cup (B-A)\qquad\mathrm{(iv)}$

Portanto, por (iii) e (iv), temos

     $\Longrightarrow\quad x\in A\cup (B-A)$

Logo,

     $\Longrightarrow\quad A\cup B\subset A\cup (B-A).$

Como concluímos que

     $A\cup (B-A)\subset A\cup B\quad\mathrm{e}\quad A\cup B\subset A\cup (B-A)$

então $A\cup (B-A)=A\cup B,$ como queríamos demonstrar.