Matemática, perguntado por bruneicrypto, 4 meses atrás

prove que:

A U (B-A) = A U B

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
1

Explicação passo a passo:

Dados dois conjuntos A e B, provar que

     A U (B-A) = A U B.

Demonstração:

     (⟶) Seja x\in A\cup (B-A) Logo,

     \Longrightarrow\quad x\in A\quad\mathrm{ou}\quad x\in (B-A)

Temos dois casos a considerar:

  • Se x\in A, então

     \Longrightarrow\quad x\in A\quad\mathrm{ou}\quad x\in B\quad\Longleftrightarrow\quad x\in A\cup B\qquad\mathrm{(i)}

  • Se x\in (B-A), então

     \Longrightarrow\quad x\in B\quad\mathrm{e}\quad x\not\in A\\\\ \Longrightarrow\quad x\in B\\\\ \Longrightarrow\quad x\in B\quad\mathrm{ou}\quad x\in A\\\\ \Longrightarrow\quad x\in A\cup B\qquad\mathrm{(ii)}

Por (i) e (ii), temos

     \Longrightarrow\quad x\in A\cup B

Portanto, A\cup (B-A)\subset A\cup B.

     (⟵) Seja x\in A\cup B. Estudemos estes dois casos:

  • Se x\in A, então

     \Longrightarrow\quad x\in A\quad\mathrm{ou}\quad x\in (B-A) \quad\Longleftrightarrow\quad x\in A\cup (B-A) \qquad\mathrm{(iii)}

  • Se x\not\in A, como x\in A\cup B, devemos ter necessariamente

     \Longrightarrow\quad x\in B

Então, nesse caso temos

     \Longrightarrow\quad x\in B\quad\mathrm{e}\quad x\not\in A\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\in (B-A)\\\\ \Longrightarrow\quad x\in (B-A)\quad\mathrm{ou}\quad x\in A\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\in A\cup (B-A)\qquad\mathrm{(iv)}

Portanto, por (iii) e (iv), temos

     \Longrightarrow\quad x\in A\cup (B-A)

Logo,

     \Longrightarrow\quad A\cup B\subset A\cup (B-A).

Como concluímos que

     A\cup (B-A)\subset A\cup B\quad\mathrm{e}\quad A\cup B\subset A\cup (B-A)

então A\cup (B-A)=A\cup B, como queríamos demonstrar.

Perguntas interessantes