Question

Prove que a derivada de y em anexo é igual a y' dado também na questão?

Answer 1

Temos o seguinte:

$y = \dfrac{x \cdot ln(2x) + 1}{x}$

Primeiro utiliza-se a regra da divisão:

$y' = \dfrac{(x \cdot ln(2x) + 1)' \cdot x - x' \cdot (x \cdot ln(2x) + 1)}{x^2} \\ \\ y' = \dfrac{(x \cdot ln(2x) + 1)' \cdot x - 1 \cdot (x \cdot ln(2x) + 1)}{x^2} \\ \\ y' = \dfrac{(x \cdot ln(2x) + 1)' \cdot x - (x \cdot ln(2x) + 1)}{x^2}$

Resolvendo a parte do produto:

$(x \cdot ln(2x) + 1)' = (x \cdot ln(2x))' + 1' = (x \cdot ln(2x))' \\ \\ (x \cdot ln(2x))' = x' \cdot ln(2x) + ln'(2x) \cdot x \\ \\ (x \cdot ln(2x))' = 1 \cdot ln(2x) + \dfrac{1}{2x} \cdot 2 \cdot x \\ \\ (x \cdot ln(2x))' = ln(2x) + 1$

Logo temos:

$y' = \dfrac{(ln(2x) + 1) \cdot x - (x \cdot ln(2x) + 1)}{x^2} \\ \\ y' = \dfrac{x \cdot ln(2x) + x - x \cdot ln(2x) - 1}{x^2} \\ \\ y' = \dfrac{x-1}{x^2}$

Answer 2

Boa tarde

f(x) = (x*ln(2x) + 1))/x 

podemos rescrever f(x) assim e derivar as duas funções 

f(x) = ln(2x) + 1/x 

(ln(2x))' = 1/x

(1/x)' = -1/x²

f'(x) = 1/x - 1/x² = (x - 1)/x²