prove que 4senx.sen(x + π/3).sen(x+2π/3) = sen3x
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Como os dois membros não são conhecidos, vamos desenvolver os dois membros.
4senx.sen(x + π/3) . sen(x + 2π/3) = sen3x
* sen(x + π/3) = senx cosπ/3 + senπ/3 cosx = senx.1/2 + √3/2 . cosx =
1/2(senx + √3cosx)
** sen(x + 2π/3) = senx cos 2π/3 + sen2π/3 cosx = senx(-1/2) + √3/3 . cosx =
- 1/2(senx - √3cosx)
4senx.sen(x + π/3) . sen(x + 2π/3) = 4senx. 1/2(senx + √3cosx) [- 1/2(senx - √3cosx)] = 4senx[-1/4)(sen²x - 3cos²x) = -sen³x + 3senxcos²x =
= -sen³x + 3senx(1- sen²x) = -sen³x + 3senx - 3sen³x = 3senx - 4sen³x
Calculando sen3x .
sen3x = sen(2x + x) = sen2x cosx + senx cos2x =
= 2senx cosx cosx + senx(cos²x - sen²x) =
= 2senx cos²x + senx(1 - sen²x - sen²x) = 2senx cos²x + senx - 2sen³x =
= 2senx(1 - sen²x) + senx - 2sen³x = 2senx - 2sen³x + senx - 2sen³x =
= 3senx - 4sen³x
Logo,
4senx.sen(x + π/3) . sen(x + 2π/3) = 3senx
3senx - 4sen³x = 3senx - 4sen³x
c.q.d