Question

Prove que 3 é o único primo p tal que p, p+2 ep+4 são todos primos

Answer 1

Sejam p, p+2 e p+4 ímpares consecutivos. Suponha que nenhum deles é múltiplo de 3. Então:

(i) $3| p+1$ ⇒ $3|(p+1)+3$ ⇒ $3| p+4$

(ii)$3|p+3$ ⇒ $3|(p+3)-3$ ⇒$3|p$

Como deve existir pelo menos um múltiplo de 3 de p a p+4, esses são os únicos casos e concluímos que 3 divide um desses números. Assim, um deles é igual a 3. A única possibilidade é p = 3 (*)

(*) se p + 2 = 3 ⇒ p = 1 (X)

se p + 4 = 3 ⇒ p = -1 (X)

Espero ter ajudado. Caso tenha dúvidas quanto a resolução, fique a vontade para usar os comentários.