Question

Prove que : (1+sen^4 alfa - 2 sen^2alfa)(1+tg^2 alfa)= cos^2 alfa

Answer 1

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Provar a identidade trigonométrica:

     (1 + sen⁴ α − 2 sen² α) · (1 + tg² α) = cos² α

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Partindo do lado esquerdo e manipulando adequadamente os termos:

     $\mathsf{(1+sen^4\,\alpha-2\,sen^2\,\alpha)\cdot (1+tg^2\,\alpha)}\\\\ =\mathsf{(1-2\,sen^2\,\alpha+sen^4\,\alpha)\cdot (1+tg^2\,\alpha)}\\\\ =\mathsf{(1-sen^2\,\alpha-sen^2\,\alpha+sen^4\,\alpha)\cdot (1+tg^2\,\alpha)}\\\\ =\mathsf{\big[(1-sen^2\,\alpha)-sen^2\,\alpha+(sen^2\,\alpha)^2\big]\cdot (1+tg^2\,\alpha)}$


Coloque  − sen² α  em evidência nos dois últimos termos entre colchetes:

     $=\mathsf{\big[(1-sen^2\,\alpha)-sen^2\,\alpha\cdot (1-sen^2\,\alpha)\big]\cdot (1+tg^2\,\alpha)}$


Fatore por agrupamento, colocando  (1 − sen² α)  em evidência na expressão entre colchetes:

     $=\mathsf{\big[(1-sen^2\,\alpha)\cdot (1-sen^2\,\alpha)\big]\cdot (1+tg^2\,\alpha)}\\\\ =\mathsf{(1-sen^2\,\alpha)^2\cdot (1+tg^2\,\alpha)}$


Mas pela Relação Fundamental da Trigonometria, segue que  1 − sen² α = cos² α,  e a expressão acima fica

     $=\mathsf{(cos^2\,\alpha)^2\cdot (1+tg^2\,\alpha)}\\\\ =\mathsf{cos^4\,\alpha\cdot (1+tg^2\,\alpha)}$


Agora, vamos manipular o segundo fator, que está entre parênteses.  Usando a definição de tangente, a expressão acima fica

     $=\mathsf{(cos^2\,\alpha)^2\cdot \left[1+\left(\dfrac{sen\,\alpha}{cos\,\alpha}\right)^{\!2}\right]}\\\\\\ =\mathsf{cos^4\,\alpha\cdot \left[1+\dfrac{sen^2\,\alpha}{cos^2\,\alpha}\right]}\\\\\\ =\mathsf{cos^4\,\alpha\cdot \left[\dfrac{cos^2\,\alpha}{cos^2\,\alpha}+\dfrac{sen^2\,\alpha}{cos^2\,\alpha}\right]}\\\\\\ =\mathsf{cos^4\,\alpha\cdot \left[\dfrac{cos^2\,\alpha+sen^2\,\alpha}{cos^2\,\alpha}\right]}$


Aplique novamente a Relação Fundamental da trigonometria:

     •   cos² α + sen² α = 1


e a expressão fica

     $=\mathsf{cos^4\,\alpha\cdot \dfrac{1}{cos^2\,\alpha}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{cos^4\,\alpha}{cos^2\,\alpha}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{cos^2\,\alpha\cdot \:\diagup\!\!\!\!\!\!\! cos^2\,\alpha}{\:\diagup\!\!\!\!\!\!\! cos^2\,\alpha}}$

     $=\mathsf{cos^2\,\alpha}$          ✔

como queríamos demonstrar.


Bons estudos! :-)