Question

Prove que 1 + r + r² + ... + r^n = (1 - r^(n+1)) / (1- r)
é pra usar metodos de indução e tals
obrigada! :)

Answer 1

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Usar o método de indução sobre os naturais para demonstrar a validade da fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica:

$\mathsf{1+r+r^2+\ldots+r^n=\dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}}$

com  r ≠ 1,  para todo  $\mathsf{n\in \mathbb{N}.}$


•   Caso base.

Verificar que a fórmula é válida para  n = 0.

$\mathsf{1=\dfrac{1-r^{0+1}}{1-r}}\\\\\\ \mathsf{1=\dfrac{1-r^1}{1-r}}\\\\\\ \mathsf{1=\dfrac{1-r}{1-r}}\qquad\quad\checkmark$


•   Hipótese de indução.

Suponha que a fórmula é válida para  n = k – 1 > 0, isto é

$\mathsf{1+r+r^2+\ldots+r^{k-1}=\dfrac{1-r^{(k-1)+1}}{1-r}}\\\\\\ \mathsf{1+r+r^2+\ldots+r^{k-1}=\dfrac{1-r^k}{1-r}}$


•   Passo indutivo.

Usando a hipótese de indução, mostrar que a fórmula é válida para  n = k.

$\mathsf{1+r+r^2+\ldots+r^{k-1}+r^k}\\\\\\ \mathsf{=(1+r+r^2+\ldots+r^{k-1})+r^k}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1-r^k}{1-r}+r^k}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1-r^k}{1-r}+\dfrac{(1-r)\cdot r^k}{1-r}}$

$\mathsf{=\dfrac{1-r^k}{1-r}+\dfrac{r^k-r\cdot r^k}{1-r}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1-r^k}{1-r}+\dfrac{r^k-r^{k+1}}{1-r}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1-\diagup\!\!\!\! r^k+\diagup\!\!\!\! r^k-r^{k+1}}{1-r}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1-r^{k+1}}{1-r}}\qquad\quad\checkmark$


como queríamos demonstrar.


Bons estudos! :-)