Question

Prove por indução que n² + 1 > n para todo n ≥ 1.

Answer 1

✅ Após realizar a demonstração, concluímos que de fato:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n^{2} + 1 > n,\:\:\forall n \geq 1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a conjectura:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} n^{2} + 1 > n,\:\:\forall n \geq 1\end{gathered}$

Como a demonstração terá de ser executada pelo método da indução, então, significa dizer que o conjunto universo da referida questão é o conjunto dos números naturais, isto é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{U} = \mathbb{N}\end{gathered}$

Pra realizar s demonstração por indução, devemos:

     $\Large\begin{cases} 1^{\underline{\circ}}\:\:Provar\:a\:base\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\\2^{\underline{\circ}}\:\:Elaborar\:a\:hip\acute{o}tese\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\\3^{\underline{\circ}}\:\:Provar\:a\:hip\acute{o}tese\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\end{cases}$

• Provando a base de indução:

        Sendo:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 1\end{gathered}$

        Temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1^{2} + 1 > 1\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 + 1 > 1\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2 > 1\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:S(1)\:\acute{e}\:Verdadeiro\end{gathered}$

• Elaborando a hipótese de indução:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k) \Longrightarrow k^{2} + 1 > k,\:\:\:\textrm{com}\: k \in \mathbb{N}\end{gathered}$

• Provando a hipótese de indução:

        Assumindo que:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k) \:\acute{e}\:Verdadeiro\end{gathered}$

        Devemos provar que:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k + 1)\:\acute{e}\:Verdadeiro\end{gathered}$

        Então, temos:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} (k + 1)^{2} + 1 > k + 1\end{gathered}$

        Portanto:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k + 1) \:\acute{e}\:Verdadeiro\end{gathered}$

De fato, temos:

• Quando n = 2:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2^{2} + 1 > 2\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 5 > 2\end{gathered}$

• Quando n = 3:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3^{2} + 1 > 3\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 10 > 3\end{gathered}$

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