Question

Prove por indução que a soma dos cubos dos inteiros positivos consecutivos de 1 até n é igual ao quadrado da soma dos inteiros positivos consecutivos de 1 a n.

Answer 1

Considerando que n ∈ Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}, temos que:

1³+2³+3³...n³ = 1²+2²+3²...n²

Para verificar se essa propriedade é verdadeira, é necessário primeiro testar se ela se aplica a um subconjunto, neste caso podemos utilizar os números inteiros consecutivos 2, 3 e 4. Agora é só fazer o cálculo:

2³+3³+4³ = 2²+3²+4²

8+27+64 = 4+9+16

99 ≠ 29

Para provar que uma afirmação é falsa, basta encontrar um contra-exemplo. Portanto, 1³+2³+3³...n³ = 1²+2²+3²...n² é falsa, já que não satisfez o subconjunto pertencente aos inteiros.