Question

Prove por indução que 1+2+3+...+n= n(n+1)/2 para todo n ∈ N Mostrar que se a|b, então (−a)|b, a|(−b) e (−a)|(−b).

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1)

$\sf 1+2+3+\dots+n=\dfrac{n\cdot(n+1)}{2}$

A base é $\sf n=1$

$\sf 1=\dfrac{1\cdot(1+1)}{2}$

$\sf 1=\dfrac{2}{2}$

Pela hipótese de indução, temos:

$\sf 1+2+3+\dots+k=\dfrac{k\cdot(k+1)}{2}$

Assim:

$\sf 1+2+3+\dots+k+k+1=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}$

Substituindo $\sf 1+2+3+\dots+k$ por $\sf \dfrac{k\cdot(k+1)}{2}$

$\sf \dfrac{k\cdot(k+1)}{2}+(k+1)=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}$

$\sf \dfrac{k\cdot(k+1)+2\cdot(k+1)}{2}=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}$

$\sf \dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}=\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}$

Provando o que queríamos

2)

Como $\sf a~|~b$, $\sf \exists ~k\in\mathbb{Z}~|~b=ak$

Assim:

• $\sf b=(-a)\cdot(-k)~\Rightarrow~(-a)~|~b$

• $\sf -b=a\cdot(-k)~\Rightarrow~ a~|~(-b)$

• $\sf -b=(-a)\cdot k~\Rightarrow~(-a)~|~(-b)$