Question

Prove as seguintes desigualdades:
$1)a {}^{2} + b {}^{2} > ab \: para \: a + b = 1$
$2)a + b > ab \: para \: a + b = 1$
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Answer 1

Resposta:

1)

a²+b² >ab    ==>a+b=1   ==>a=1-b

(1-b)²+b² >(1-b)*b

1-2b+b²+b² > b-b²

3b²-3b+1 >0

b²-b+1/3 >0

coeficiente de b² =1 >0 , concavidade é para cima , Δ=1-4/3 < 0 , não tem raízes Reais e (b²-b+1/3 ) sempre será positivo , c.q.p.

2)

a+b>ab   ==>a+b=1  ==>a=1-b

1-b+b >(1-b)*b

1 > b-b²

b²-b+1 >0

coeficiente de b² =1 >0 , concavidade é para cima , Δ=1-4 < 0 , não tem raízes Reais e (b²-b+1 ) sempre será positivo , c.q.p.