Question

Prove a seguinte identidade trigonométrica:

(1 + sen x)/(1 − sen x) = (sec x + tg x)²

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Instruções: Para responder essa tarefa corretamente, você deve partir de um dos membros da igualdade e fazer manipulações algébricas e/ou trigonométricas até chegar ao outro membro.

Respostas que já partem da igualdade dada não serão satisfatórias.

Favor detalhar e explicar bem o passo a passo envolvido na resolução.

Answer 1

Olá.

Partindo do segundo membro.

(secx + tgx)^2 =

sec^2 x + 2 tgx secx + tg^2 x =

1 / (cos^2 x) + 2 . 1 / (cosx) . senx/cosx + (sen^2 x) / *cos^2 x) =

(1 + 2 senx + sen^2 x) / (cos^2 x) =

[(1 + senx) . (1 + senx)] / (1 - sen^2 x) =

[(1 + senx) . (1 + senx)] / [(1 + senx) (1 - senx)] =

(1 + senx) / (1 - senx) ---> Provada

Bons estudos.

Answer 2

Olá boa noite. Iniciando pelo segundo termo:
$(secx + tgx)^2 \\ \\ (sec^2x + 2secx.tgx + tg^2x) \\ \\ ( \frac{1}{cosx})^2 + 2( \frac{1}{cosx}. \frac{senx}{cosx})+( \frac{senx}{cosx})^2 \\ \\ ( \frac{1}{cos^2x}) + \frac{2senx}{cos^2} + (\frac{sen^2x}{cos^2x} )\\ \\ \frac{(1 + 2senx + sen^2 x)}{ (cos^2 x) }\\ \\ \frac{(1 + senx)^2}{(1 - sen^2 x)}\\\\portanto:\\\\ \frac{(1 + senx).(1 + sen x)}{(1 - sen x). (1 + sen x)} \\ \\ finalmente:\\\\ \frac{(1 + sen x)}{(1 - sen x)}$