Question

Prove a seguinte desigualdade entre o somatório e o produtório,

$\left|\displaystyle\sum_{i~=~1}^4x_i\right|+2\displaystyle\sum_{i~=~1}^4 \big|x_i \big| \geqslant 6\sqrt[6]{ \displaystyle\prod_{1 \leqslant i\lt j \leqslant 4} \big|x_i+x_j \big|}$

by $@\underline{\green{\mathbb{ZIBIA}}}$, agradeço antecipadamente :)​

Answer 1

Recordamos inicialmente da desigualdade das médias aritmética e geométrica. Dados y₁,...,yₙ números não negativos vale que

$\dfrac{y_1+y_2+ \cdots+y_n}n \geq \sqrt[n]{y_1y_2\cdots y_n\vphantom{L^L}\,}$

Isso implica que para quaisquer reais x₁, x₂, x₃, x₄ vale que

 $\dfrac{\displaystyle \sum_{1 \leq i < j \leq 4} |x_i + x_j| }{6 } \geq \sqrt[6]{\displaystyle \prod_{1 \leq i < j \leq 4}|x_i+x_j|}$   ( I )

Assim, para resolvermos o problema é suficiente provar que

$\displaystyle \left| \sum_{i=1^4} x_i \right| + 2 \sum_{i=1}^4|x_i| \geq \sum_{1 \leq i < j \leq 4} |x_i + x_j|$   ( II )

Começaremos provando que para 3 números reais a,b,c quaisquer temos

$|a+b+c| + |a| + |b| + |c| \geq |a+b| + |b+c| +|c+a|$   ( III )

Se a,b,c são todos não negativos ou todos não positivos vale a igualdade em  ( III ). Resta analisar o caso em que há números com sinais distintos. Como a desigualdade continua válida trocando o sinal de todos os números, podemos supor que a,b,c ≥ 0 e provar que

$|-a+b+c| + |-a| + |b| + |c| \geq |b-a| + |c-a| + |b+c|$

Caso seja a ≥ b+c a desigualdade é equivalente a

$a - b - c + a + b + c \geq a - b + a - c + b + c$

que é verdadeira já que ambos os lados são iguais. Por outro lado, caso seja b+c ≥ a temos

$b + c -a + a + b + c \geq |b-a| + |c-a| = b + c$

$b + c \geq |b-a| + |c-a|$

Supondo b ≤ c temos 3 casos: a ≤ b ≤ c, b ≤ a ≤ c ou b ≤ c ≤ a. No primeiro caso temos b + c ≥ b+c - 2a que é verdadeiro, no segundo temos b + c ≥ a-b + c-a = c-b que também é verdadeiro. Para o terceiro caso, obtemos b + c ≥ 2a - b - c que equivale a b+c ≥ a que também é verdadeiro. Assim concluímos todos os casos e provamos que ( III ) é válida.

Agora vamos usar a seguinte notação:

$S_1 = |x_1| + |x_2| + |x_3| + |x_4|$

$S_2 = |x_1 + x_2| + |x_1+x_3| + |x_1 +x_4| + |x_2+x_3| +|x_2+x_4| + |x_3+x_4|$

$S_4 = |x_1+x_2+x_3+x_4|$

Assim a desigualdade ( II ) é o mesmo que S₄ + 2S₁ ≥ S₂. Aplicando ( III ) para os números x₁, x₂  e x₃+x₄ temos

$|x_1 + x_2 +x_3+x_4| + |x_1| + |x_2| + |x_3+x_4| \geq |x_1+x_2| + |x_1+x_3+x_4| + |x_2+x_3+x_4|$

Aplicando ( III ) novamente para |x₁+x₃+x₄| e |x₂+x₃+x₄| temos

$S_4 + |x_1| + |x_2| + |x_3+x_4| \geq S_2 + |x_3+x_4| - |x_1| - |x_2| - 2|x_3| - 2|x_4| \implies \\[2ex]S_4 + 2S_1 \geq S_2$

Isso prova ( II ). Juntando com ( I ) provamos que

$\displaystyle \left| \sum_{i = 1}^4x_i \right| + 2 \sum_{i=1}^4 |x_i| \geq 6 \sqrt[6]{\prod_{1 \leq i < j \leq 4}|x_i + x_j|}$