Question

Prove: a equação da reta que passa pelos pontos distintos $(a_{1} ,b_{1}) \ e \ (a_{2} ,b_{2})$ pode ser escrita como

$\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\a1&b1&1\\a2&b2&1\end{array}\right] = 0$

Answer 1

Equação geral da reta ==>ax+by+c=0

a,b e c são números Reais

Calculando o determinante utilizando  a regra de  Sarrus

x    y        1       x        y

a₁   b₁     1      a₁      b₁

a₂   b₂     1      a₂      b₂

*** os pontos são distintos , significa a₁ ≠ a₂ ou b₁ ≠ b₂   ou  a₁ ≠ a₂ e b₁ ≠ b₂

x*b₁+ya₂  +a₁*a₂ -ya₁ -xb₂-b₁*b₂=0

x*(b₁-b₂) + y*(a₂-a₁) + a₁*a₂ -b₁*b₂ =0  

Fazendo

(b₁-b₂) teremos um número Real qualquer    ==>  (b₁-b₂) =a

(a₁-a₂) teremos um número Real qualquer    ==>   (a₂-a₁) =b

a₁*a₂ -b₁*b₂  teremos um número Real qualquer      ==> a₁*a₂ -b₁*b₂ = c

Ficaremos  com ax+by+c=0   que é a equação geral da reta

**** c.q.p   (como queríamos provar)