Question

Prove a desigualdade e determine quando ocorre a igualdade.
$1)(a {}^{2} + b {}^{2})(x {}^{2} + y {}^{2}) \geqslant (ax + by) {}^{2}$
$2)a {}^{2} + b {}^{2} \geqslant 2(a - b - 1)$
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Answer 1

Resposta:

1)

(a²+b²)*(x²+y²) ≥ (ax+by)²

a²x² +a²y²+b²x²+b²y² ≥ a²x²+2abxy+b²y²

a²y²+b²x²≥ 2abxy

a²y²+b²x²- 2abxy ≥  0

(ay-bx)² ≥  0  , observe sendo   ay-bx elevado ao quadrado podemos garantir que o resultado ou é positivo ou igual a zero , então c.q.p. a relação é verdadeira

2)

a²+b² ≥ 2*(a-b-1)

a²+b² ≥ 2a-2b-1 -1

a²-2a +1  +b²-2b+1  ≥ 0

(a-1)²+(b-1)²  ≥ 0

Observe (a-1)² e (b-1)² serão com certeza positivos ou iguais a zero , a relação é verdadeira , c.q.p.