Question

Provar que [u +v, v +w,u +w]= 2[u, v,w]

Answer 1

[u +v, v +w,u +w]=
=[u, v +w,u +w] + [v, v +w,u +w]
=[u, v,u +w]+[u, w,u +w]+[v, v,u +w]+[v, w,u +w]
=[u, v,u]+[u, v,w]+[u, w,u]+[u, w,w]+[v, v,u]+[v, v,w]+[v, w,u]+[v, w,w]

Produto misto contendo dois vetores iguais é igual a zero

=0+[u, v,w]+0+0+0+0+[v, w,u]+0
= [u, v,w] +[v, w,u]

O calculo de um produto misto envolve cálculo de determinante. Uma das propriedades do determinante é que quando alternamos duas linhas, o sinal do determinante se altera. Assim:

= [u, v,w] +[v, w,u]
= [u, v,w] -[v, u, w]
= [u, v,w] -(-[u, v, w])
= [u, v,w] +[u, v, w]
= 2[u, v,w]

Ainda é possível fazer da seguinte forma:

Sabendo que se [a, b, c] = a^b.c então:

[u+v,v+w,u+w]=
=(u+v) ^ (v+w) . (u+w)
=(u ^ (v+w) + v ^ (v+w)) . (u+w)
=(u ^ (v+w)) . (u+w) + (v ^ (v+w)) . (u+w)
=(u^v+u^w).(u+w) + (v^v+v^w).(u+w)
=(u^v).(u+w) + (u^w).(u+w) + (v^v).(u+w)+(v^w).(u+w)
=(u^v.u)+(u^v.w)+(u^w.u)+(u^w.w) + (v^v.u)+(v^v.w)+(v^w.u)+(v^w.w)
=0+(u^v.w)+0+0+0+0+(v^w.u)+0
=(u^v.w) +(v^w.u)
=[u, v, w] + [v, w, u]
=[u, v, w] - [v, u, w]
=[u, v, w] - (-[u, v, w])
=[u, v, w] + [u, v, w]
=2[u, v, w]