Question

Propriedades:
1. ( u + v) + w = u + ( v + w)
2. u + v = v + u
3. Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)
4. Existe u Є V tal que u + ( -u) = 0.
5. a( u + v) = au + av
6. (a + b)v = av + bv
7. (ab)v = a(bv)
8. 1u = u
Lembrando que para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e ao multiplicar um número escalar por um vetor fazemos a distributividade. A partir dessas informações verifique os oito axiomas(propriedades) citados e conclua se o espaço V= IR2 = {(x, y)/ x, y IR} é vetorial ou não vetorial.
Os vetores serão criados pelo aluno dentro da informação citada. E a questão deverá apresentar a resolução para comprovar a veracidade das propriedades.

Answer 1

Vamos lá !

Respeitando a formação V = (x,y)

u = (x1,y1) , v = (x2,y2)  , w = (x3,y3)

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Aplicando as propriedades ...

1_( u + v) + w = u + ( v + w)

[(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)]+(x3,y3,z3) = (x1,y1,z1)+[(x2,y2,z2)+(x3,y3,z3)

[(x1+x2,y1+y2,z1+z2)]+(x3,y3,z3)] = (x1,y1,z1)+[(x2+x3,y2+y3,z2+z3)]

(x1+x2+x3,y1+y2+y3,z1+z2+z3) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3,z1+z2+z3)

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2_u + v = v + u

(x1,y1)+(x2,y2) = (x2,y2)+(x1,y1)

(x1+x2,y1+y2) = (x1+x2,y1+y2)

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3_Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)

vetor nulo = (0,0)

(x1,y1) + (0,0) = (x1,y1)

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4_Existe -u Є V tal que u + ( -u) = 0.

vetor -u = -(x1,y1) = (-x1,-y1)

u + (-u)

(x1,y1) + (-x1,-y1) 

(x1-x1,y1-y1) = (0,0)

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5_a( u + v) = au + av

a.[(x1,y1)+(x2,y2)]

(ax1,ay1) + (ax2,ay2)

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6_(a + b)v = av + bv

(a+b).(x2,y2)

(ax2,ay2) + (bx2,by2)

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7_(ab)v = a(bv)

(ab).(x2,y2) 

a.b(x2,y2)

a.(bx2,by2)

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8_1u = u

1.(x1,y1) = (x1,y1) 


Espero que lhe ajude!                                       ok