Question

Projeção ortogonal
Sejam ~u; ~v vetores não nulos do plano. Mostre que proj~v(~u) = ~0 se, e
somente se, ~u . ~v = 0:

Answer 1

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⠀⠀☞ Como o produto escalar de dois vetores não-nulos somente será nulo se o ângulo entre os vetores for de 90º então sendo aquele nulo teremos então que a projeção de um vetor sobre o outro também será nula pois esta também depende do cosseno do ângulo formado entre eles. ✅

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➡️⠀Vamos analisar dois vetores não nulos com seus pontos de origem em comum:

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){9.7}}\put(0,0){\vector(4,3){5}}\bezier(0.9,0.65)(1.4,0.5)(1.4,0)\put(1.5,0.4){\LARGE \Theta }\put(9,0.2){\LARGE \vec{\sf v} }\bezier{40}(5,3.6)(5,1.50)(5,0)\put(3.5,3.5){\LARGE \vec{\sf u} }\put(2,-0.7){\LARGE proj_{\vec{\sf u}}~\vec{\sf v} }\put(7,3){\dashbox{0.1}(5,1){\text{\Large proj_{\vec{\sf u}}~\vec{\sf v} = \sf cos(\Theta) \cdot |u| }}}\end{picture}$

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➡️⠀Temos também que a equação para o produto escalar de dois vetores é dado pela equação:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\vec{\sf u} \cdot \vec{\sf v} = \sf |u| \cdot |v| \cdot cos(\Theta)}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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➡️⠀Desta forma observamos que a única possibilidade para que tal projeção seja nula é se o ângulo formado entre os vetores $\vec{\sf u}$ e $\vec{\sf v}$ for igual à 90º, pois desta forma teremos que:

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$\LARGE\blue{\text{ \vec{\sf u} \cdot \vec{\sf v} = \sf |u| \cdot |v| \cdot \overbrace{\sf cos(90^{\circ})}^{= 0} }}$

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$\LARGE\blue{\vec{\sf u} \cdot \vec{\sf v} = \sf |u| \cdot |v| \cdot 0}$

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$\LARGE\blue{\vec{\sf u} \cdot \vec{\sf v} = 0}$  

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⭐ Tendo que Θ = 90º através do produto escalar então sabemos também que a projeção de $\vec{\sf u}$ em $\vec{\sf v}$ também será 0 pois esta também depende de cos(Θ), como queríamos demonstrar. ✅ ∴  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀☀️ Leia mais sobre vetores:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38210349

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$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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$\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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