Question

Procurar o fator integrante e resolver a equação:
xdy - ydx = (x^2 . e^x)dx

Answer 1

     $(x^2e^x+y)dx+(-x)dy=0\\ \\ P(x,y)=x^2e^x+y\to P_y=1\\ Q(x,y)=-x\to Q_x=-1$

Cálculo del factor integrante (FI)

            $\displaystyle FI=\exp\int \dfrac{P_y-Q_x}{Q}dx\\\\ FI=\exp\int \dfrac{2}{-x}dx\\\\ \boxed{FI=\dfrac{1}{x^2}}$

Multipliquemos a la EDO de la primera línea por el FI

          $\dfrac{x^2e^x+y}{x^2}dx+\dfrac{-1}{x}dy=0\\ \\ f_x(x,y)=\dfrac{x^2e^x+y}{x^2}\to f(x,y)=e^x-\dfrac{y}{x}+\phi(y)\\ \\ f_y(x,y)=\dfrac{d}{dy}\left[e^x-\dfrac{y}{x}+\phi(y)\right]\\ \\ -\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{x}+\phi'(y)\\ \\ \phi (y)=C_1\\ \\ \text{entonces:}\\ \\ f(x,y)=e^x-\dfrac{y}{x}+C_1 \\ \\.$

Entonces la solución de la EDO es

                                    $e^x-\dfrac{y}{x}=C$