PROBLEMAS DO 2° GRAU
02 - Resolva os seguintes problemas do 2° grau.
a) A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse número.
b) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse número.
c) O quadrado menos o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número.
d) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número.
e) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número
f) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
PROBLEMAS DO 2° GRAU
IDENTIFICANDO
x = UM número ( NÃO sabemos)
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equação do 2º grau
ax² + bx + c = 0
=================================================
02 - Resolva os seguintes problemas do 2° grau.
a) A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse número.
x + x² = 90 ( zero da função) olha o SINAL
x + x² - 90 = 0 arruma a casa
x² + x - 90 = 0 equação do 2º grau
a = 1
b = 1
c = - 90
Δ = b² - 4ac
Δ = (1)² - 4(1)(-90)
Δ = 1 + 360
Δ = + 361 ------------------------------>√Δ = 19 (Porque √361 = 19)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(Baskara))
- b ± √Δ
x = -------------------
2a
- 1 - √361 - 1 - 19 - 20
x' = ---------------------- = --------------- = ----------- = - 10
2(1) 2 2
- 1 + √361 - 1 + 19 + 18
x'' = --------------------- = ----------------- = ---------- = 9
2(1) 2 2
assim
x' = -10
x'' = 9
b) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse número.
x² + x = 12 ( zero da função) olha o sinal
x² + x - 12= 0 equação do 2º grau
a = 1
b = 1
c = - 12
Δ = b² - 4ac
Δ = (1) - 4(1)(-12)
Δ = + 1 + 48
Δ = + 49 -----------------------> √Δ = 7 ( porque √49 = 7)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(Baskara))
- b ± √Δ
x = -------------------
2a
-1 - √49 - 1 - 7 - 8
x' = -------------------- = --------------- = ------- = - 4
2(1) 2 2
e
- 1 + √49 - 1 + 7 + 6
x'' = ------------------- = -------------- = ---------- = 3
2(1) 2 2
assim
x' = - 4
x'' = 3
c) O quadrado menos o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número.
x² - 2x = 80 zero da função o SINAL
x² - 2x - 80 = 0 equação do 2º grau
a = 1
b = - 2
c = -80
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4(1)(-80)
Δ = + 4 + 320
Δ = + 324 ------------------------> √Δ = 18 ( porque √324 = 18)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(Baskara))
- b ± √Δ
x = -------------------
2a
-(-2) - √324 + 2 - 18 - 16
x' = ------------------------ = -------------- = ------------ = - 8
2(1) 2 2
e
-(-2) + √324 + 2 + 18 + 20
x'' = ------------------------- = ------------------ = ------------ = 10
2(1) 2 2
assim
x' = - 8
x'' = 10
d) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número.
x² - 2x = 80 zero da função olha o SINAL
x² - 2x - 80 = 0 equação do 2º grau
a = 1
b = - 2
c = -80
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4(1)(-80)
Δ = + 4 + 320
Δ = + 324 ------------------------> √Δ = 18 ( porque √324 = 18)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(Baskara))
- b ± √Δ
x = -------------------
2a
-(-2) - √324 + 2 - 18 - 16
x' = ------------------------ = -------------- = ------------ = - 8
2(1) 2 2
e
-(-2) + √324 + 2 + 18 + 20
x'' = ------------------------- = ------------------ = ------------ = 10
2(1) 2 2
assim
x' = - 8
x'' = 10
e) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número
x² + 25 = 10x ( zero da função ) o SINAL
x² + 25 - 10x = 0 arruma a CASA
x² - 10x + 25 = 0 equação do 2º grau
a = 1
b = - 10
c = 25
Δ = b² - 4ac
Δ= (-10)² - 4(1)(25)
Δ = + 100 - 100
Δ = 0
se
Δ = 0 ( ÚNICA raiz) ( fórmula)
x = - b/2a
x = -(-10)/2(1)
x = + 10/2
x = 5
f) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.
x² + 3x = 7x zero da função olha o SINAL
x² + 3x - 7x = 0
x² - 4x = 0 equação do 2º grau INCOMPLETA ( 2 raizes)
x² - 4x = 0
x(x - 4) = 0
x = 0
e
(x - 4)= 0
x - 4 = 0
x = +4
assim
x' = 0 NULO desprezamos
x '' = 4 RESPOSTA
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
a)
x+ x^2 = 90
x^2 + x - 90 = 0
a = 1; b = 1; c = - 90
∆ = b^2 - 4ac
∆ = (1)^2 - 4.1.(-90)
∆ = 1 + 360
∆ = 361
x = [- b +/- √∆]/2a
x = [ -(1)+/- √361]/2.1
x = [ - 1 +/- 19]/2
x' = [- 1+19]/2 = 18/2 = 9
x" = [- 1-19]/2 = - 20/2 = - 10
b)
x^2 + x = 12
x^2 + x - 12 = 0
a = 1; b = 1; c = - 12
∆ = b^2 - 4ac
∆ = 1^2 - 4.1.(-12)
∆ = 1 + 48
∆ = 49
x = [ -1 +/- √49]/2.1
x = [ - 1 +/- 7]/2
x = (-1 -7)/2 = -8/2 = - 4
x" = [ -1+7]/2 = 6/2 = 3
R.: {-4; 3}
c)
x^2 - 2x = 80
x^2 - 2x - 80 = 0
a = 1; b = - 2; c = - 80
∆ = b^2 - 4ac
∆ = (-2)^2 - 4.1.(-80)
∆ = 4 + 320
∆ = 324
x = [-b +/- √∆]/2a
x = [ -(-2) +/- √324]/2.1
x = [ 2 +/- 18]/2
x' = [ 2 + 18]/2 = 20/2 = 10
x" = (2 - 18)/2 = -16/2 = - 8
R.: {10; -8}
d)
x^2 - 2x= 80
x^2 - 2x - 80 = 0
a = 1; b = - 2; c = - 80
∆ = b^2 - 4ac
∆ = (-2)^2 - 4.1.(-80)
∆ = 4 + 320
∆ = 324
x = [-b +/- √∆]/2a
x = [ -(-2) +/- √324]/2.1
x = [ 2 +/- 18]/2
x' = [ 2 + 18]/2 = 20/2 = 10
x" = (2 - 18)/2 = -16/2 = - 8
R.: {10; -8}
e)
x^2 + 25 = 10x
x^2 - 10x + 25 = 0
a = 1; b = - 10; c = 25
∆ = b^2 - 4ac
∆ = (-10)^2 - 4.1.25
∆ = 100 - 100
∆ = 0
x = [ - b +/- √∆]/2a
x = [ -(-10) +/- 0]/2.1
x = 10/2
x = 5
R.: {5}
f)
x^2 + 3x = 7x
x^2 + 3x - 7x = 0
x^2 - 4x = 0
x.(x-4) = 0
x' = 0
x - 4 = 0
x" = 4
R.: x=4; x = 0