Question

Problema sobre Números Complexos, estou estudando para uma prova e não consigo resolver problemas como esse: Dados o número complexo, Z = a + bi e seu conjugado, determine os valores de “a” e “b”, de tal maneira que : Z.Z ̅ = 58 e Z/Z ̅ = (-20)/29+3i/29

Answer 1

Observe que temos um sistema de equações com números complexos:

$\begin{cases} Z.\overline{Z} = 58 \\\\ \dfrac{Z}{\overline{Z}} = \dfrac{-20}{29 + \dfrac{3i}{29}}} \end{cases}$

Vou multiplicar a primeira equação pela segunda, pois com isso poderemos fazer algumas simplificações:

$Z.\overline{Z} \cdot \dfrac{Z}{\overline{Z}} = 58 \cdot \dfrac{-20}{29 + \dfrac{3i}{29}}$

Simplificando os conjugados, encontramos Z² e fazendo as contas do outro lado da equação chegamos a:

$Z^2 = -40 + 6i$

Assim, temos que:

$Z^2 = -40 + 6i \rightarrow (a+bi)(a+bi) = -40+6i\\\\a^2 - b^2 + 2abi = -40+6i$

Sabemos que a² - b² é a parte real do número, já que se elevarmos i² ele se torna -1, que é um número real. E sabemos que 2ab é a imaginária. Assim, temos que dois números complexos são iguais quando suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias também. Temos então o sistema:

$\begin{cases} a^2 - b^2 = -40 \\ 2ab = 6 \end{cases}$

Que resolveremos por substituição:

$\begin{cases} a^2 - b^2 = -40 \\ ab = 3 \rightarrow a = \dfrac{b}{3}\end{cases}$

$\dfrac{b^2}3 - b^2 = -40\\\\b^2 - 3b^2 = -120\\\\-2b^2 = -120\\\\b^2 = 60\\\\b = 2\sqrt{15}$

$a = \dfrac{b}{3}\\\\a = \dfrac{2\sqrt{15}}{3}$

Seu número complexo será:

$Z = \dfrac{2\sqrt{15}}{3} + 2i\sqrt{15}$

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