Question

Problema de Maximização e Minimização (Cálculo).

Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto de altura h e raio r, a uma semi-esfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja 5π.
Determinar r e h para que o volume seja máximo.

Answer 1

O valor de R e H para que o volume seja máximo é de 1 e 1, respectivamente.

Vamos calcular primeiro a área total do sólido:

S = (2πrh + πr²) + 2πr² = 5π  

2rh + r² + 2r² = 5

h = (5 - 3r²)/2r

Logo, o volume do sólido é:

V =  πr²h + 2πr³/3  

Fazendo a substituição no h:

V =  πr².(5 - 3r²)/2r + 2πr³/3  

V = πr(5 - 3r²)/2 + 2πr³/3  

V = 5πr/2 - 3πr³/2 + 2πr³/3  

Agora sim, podemos derivar essa função em r, pois bem:

dV/dr = 5π/2 - 9πr²/2 + 2πr²  

Igualando a 0, para que possamos encontrar um máximo:  

5π/2 - 5πr²/2 = 0  

Sim, de fato, o gráfico dessa equação é uma parábola com concavidade para baixo, assim sendo, encontraremos um ponto de máximo.

5 - 5r² = 0  

r = 1  

fazendo novamente a substituição em H:

h = (5 - 3r²)/2r  

h = (5 - 3)/2  

h = 1  

Espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)