PRECISO PRA SEGUNDA
Obtenha o raio e o centro das circunferências a seguir.
a) 2x² + 2y2 - 8x + 12y - 6 = 0
b) x2 + y2 - 6x - 2y - 6 = 0
c) x2 + y2 - 4x - 8y + 16 = 0
d) x2 + y2 + 12x - 4y - 9 = 0
e) x2 + y2 + 8x + 11 = 0
f) x2 + y2 - 6x + 8y + 5 = 0
g) x2 + y2 - 4y = 0
h) x2 + y2 - 2x - 2y = 0
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
a)
2x² + 2y² - 8x + 12y - 6 = 0 (divide a equação por 2)
x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0
• (x - 2)² = x² - 4x + 4
• (y + 3)² = y² + 6y + 9
Somando 4 + 9 + 3 = 16 a ambos os membros da equação:
x² + y² - 4x + 6y - 3 + 16 = 16
x² - 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 16
(x - 2)² + (y + 3)² = 4²
• Centro C(2, -3)
• Raio r = 4
b)
x² + y² - 6x - 2y - 6 = 0
• (x - 3)² = x² - 6x + 9
• (y - 1)² = y² - 2y + 1
Somando 9 + 1 + 6 = 16 a ambos os membros da equação:
x² + y² - 6x - 2y - 6 + 16 = 16
x² - 6x + 9 + y² - 2y + 1 = 16
(x - 3)² + (y - 1)² = 4²
• Centro C(3, 1)
• Raio r = 4
c)
x² + y² - 4x - 8y + 16 = 0
• (x - 2)² = x² - 4x + 4
• (y - 4)² = y² - 8y + 16
Somando 4 a ambos os membros da equação:
x² + y² - 4x - 8y + 16 + 4 = 4
x² - 4x + 4 + y² - 8y + 16 = 4
(x - 2)² + (y - 4)² = 2²
• Centro C(2, 4)
• Raio r = 2
d)
x² + y² + 12x - 4y - 9 = 0
• (x + 6)² = x² + 12x + 36
• (y - 2)² = y² - 4y + 4
Somando 36 + 4 + 9 = 49 a ambos os membros da equação:
x² + y² + 12x - 4y - 9 + 49 = 49
x² + 12x + 36 + y² - 4y + 4 = 49
(x + 6)² + (y - 2)² = 7²
• Centro C(-6, 2)
• Raio r = 7
e)
x² + y² + 8x + 11 = 0
• (x + 4)² = x² + 8x + 16
Somando 5 a ambos os membros da equação:
x² + y² + 8x + 11 + 5 = 5
x² + 8x + 16 + y² = 5
(x + 4)² + (y - 0)² = (√5)²
• Centro C(-4, 0)
• Raio r = √5
f)
x² + y² - 6x + 8y + 5 = 0
• (x - 3)² = x² - 6x + 9
• (y + 4)² = y² + 8y + 16
Somando 9 + 16 - 5 = 20 a ambos os membros daequação:
x² + y² - 6x + 8y + 5 + 20 = 20
x² - 6x + 9 + y² + 8y + 16 = 20
(x - 3)² + (y + 4)² = (√20)²
• Centro C(3, -4)
• Raio r = √20
g)
x² + y² - 4y = 0
• (y - 2)² = y² - 4y + 4
Somando 4 a ambos os membros da equação:
x² + y² - 4y + 4 = 4
(x - 0)² + (y - 2)² = 2²
• Centro C(0, 2)
• Raio r = 2
h)
x² + y² - 2x - 2y = 0
• (x - 1)² = x² - 2x + 1
• (y - 1)² = y² - 2y + 1
Somando 1 + 1 = 2 a ambos os membros da equação:
x² + y² - 2x - 2y + 2 = 2
x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = 2
(x - 1)² + (y - 1)² = (√2)²
• Centro C(1, 1)
• Raio r = √2
As coordenadas do centro e a medida do raio de cada uma das circunferências dadas são:
a) C(2,-3) e r = 4
b) C(3,1) e r = 4
c) C(2,4) e r = 2
d) C(-6,2) e r = 7
e) C(-4,0) e r = √5
f) C(3,-4) e r = 2√5
g) C(0,2) e r = 2
h) C(1,1) e r = √2
Para chegar a essas respostas deve-se saber que forma tem a equação reduzida de uma circunferência e quais são seus parâmetros.
Equação reduzida de uma circunferência
A equação reduzida de uma circunferência obedece a forma (x - a)² + (y - b)² = r², onde o ponto C(a,b) é o centro da circunferência e r é o raio.
Voltando à questão, basta achar a equação reduzida de cada uma das circunferências dadas sabendo que w² +/- 2nw = (w +/- n)² - n²:
a) 2x² + 2y² - 8x + 12y - 6 = 0
Dividindo por 2: x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0
x² - 4x = x² - 2*2x = (x - 2)² - 2²
y² + 6y = y² + 2*3y = (y + 3)² - 3²
logo:
(x - 2)² + (y + 3)² = 4²
C(2,-3) e r = 4
b) x² + y² - 6x - 2y - 6 = 0
x² - 6x = x² - 2*3x = (x - 3)² - 3²
y² - 2y = y² - 2*1y = (y - 1)² - 1²
logo:
(x - 3)² + (y - 1)² = 4²
C(3,1) e r = 4
c) x² + y² - 4x - 8y + 16 = 0
x² - 4x = x² - 2*2x = (x - 2)² - 2²
y² - 8y = y² - 2*4y = (y - 4)² - 4²
logo:
(x - 2)² + (y - 4)² = 2²
C(2,4) e r = 2
d) x² + y² + 12x - 4y - 9 = 0
x² + 12x = x² + 2*6x = (x + 6)² - 6²
y² - 4y = y² - 2*2y = (y - 2)² - 2²
logo:
(x + 6)² + (y - 2)² = 7²
C(-6,2) e r = 7
Similarmente:
e) x² + y² + 8x + 11 = 0
(x + 4)² + y² = 5
C(-4,0) e r = √5
f) x² + y² - 6x + 8y + 5 = 0
(x - 3)² + (y + 4)² = 20
C(3,-4) e r = 2√5
g) x² + y² - 4y = 0
x² + (y - 2)² = 2²
C(0,2) e r = 2
h) x² + y² - 2x - 2y = 0
(x - 1)² + (y + 1)² = 2
C(1,1) e r = √2
Aprenda mais sobre circunferências aqui:
brainly.com.br/tarefa/1136435
