Question

PRECISO PRA HOJE POR FAVOR


Resolva estas equaçoes logaritmicas.

a) log (x+2) + log (10x+20)=3

Answer 1

Log ( x + 2 ) + log ( 10x + 20 ) = 3

Como não tem base, será de base 10

Log ( x + 2 ) . ( 10x + 20 ) = 10³

10x² + 20x + 20x + 40 = 1 000

10x² + 40x - 960 = 0 ( equação do 2º grau ), simplificando por 10

x² + 4x - 96 = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = 4² - 4 . 1 . ( -96 )

Δ = 16 + 384

Δ = 400

x = ( -b +/- √Δ ) 2a

x = ( -4 +/- 20 ) / 2

x' = ( -4 + 20 ) / 2

x' = 16/2 = 8

x'' = ( - 4 - 20 ) / 2

x'' = -24/2 = -12

Como o -12 não serve, x = 8

Answer 2

$\log(x+2) + \log(10x+20) = 3$


Usando a propriedade

$\log _c\left(a\right)+\log _c\left(b\right)=\log _c\left(ab\right)$


Temos

$\log\left[(x+2)(10x+20)\right] = 3\\\\ \log\left[10x^2+20x+20x+40\right] = 3\\\\ \log\left[10x^2+40x+40\right] = 3$


Como não esta explícita a base, tomamos como padrão a base 10. Deste modo, podemos usar a definição fazendo

$\log_a b = c \iff b = a^c$


Assim, aplicamos a definição e basta resolver a equação quadrática

$10x^2+40x+40 = 10^3\\\\ 10x^2+40x+40 = 1000\\\\ 10x^2+40x+40 - 1000 = 0\\\\ 10x^2+40x-960 = 0\\\\\\ \Delta = 40^2-4\cdot \:10\left(-960\right) = 40000\\\\ x_1 = \dfrac{-40+ \sqrt{40000}}{2\cdot \:10} = \dfrac{-40+200}{20} = \dfrac{160}{20} = 8 \\\\\\ x_2 = \dfrac{-40- \sqrt{40000}}{2\cdot \:10} = \dfrac{-40-200}{20} = -\dfrac{240}{20} = -12$


Verificando a validade de x

A condição de existência diz que x + 2 > 0 e 10x + 20 > 0. Verifiquemos:

x + 2 > 0                     10x + 20 > 0
8 + 2 > 0               10(-12) + 20 > 0 
    10 > 0                           -100 > 0 (falso)


Portanto, devemos ter x = 8.