Question

Preciso passo a passo, alguém ajuda?

Deseja-se construir e cercar uma área de lazer retangular com uma área total de 900m2, a cerca que delimitará o perímetro da área de lazer tem um custo de R$5,50/m. Se o objetivo principal é construir a área com a menor quantidade de cerca utilizada, analise as afirmações apresentadas. Lembre-se de que a área de um retângulo é dada pelo produto a largura e o comprimento e que o perímetro é a soma de todos os lados.

I. As medidas que minimizam o consumo de cerca são 30m x 30m.
II. O custo mínimo da cerca será de R$660,00.
III. O perímetro mínimo da construção será de 150m.

É correto o que se afirma em:
Alternativas
Alternativa 1:
I, apenas.

Alternativa 2:
I e II, apenas.

Alternativa 3:
I e III, apenas.

Alternativa 4:
II e III, apenas.

Alternativa 5:
I, II e III.

Answer 1

Resposta:

Alternativa 2: I e II, apenas

Explicação passo-a-passo:

Boa tarde!

Definindo-se as dimensões da área de lazer retangular:

• Comprimento: x
• Largura: y
• Perímetro(2p): 2p=2x+2y
• Área:  900m²
• Custo: R$ 5,50/m

$A(x,y)=xy\\900=xy\\y=\dfrac{900}{x}$

$C(x,y)=5,5(2p)=5,5(2x+2y)\\C(x,y)=11(x+y)\\C(x)=11\cdot\left(x+\dfrac{900}{x}\right)$

Como queremos o custo mínimo, iremos derivar e encontrar o ponto crítico:

$C(x)=11\cdot\left(x+\dfrac{900}{x}\right)\\C'(x)=11\cdot\left(1-\dfrac{900}{x^2}\right)=0\\1-\dfrac{900}{x^2}=0\\x^2=900\\\boxed{x=30}$

Agora que temos a dimensão mínima para x, podemos obter a mínima para y também:

$y=\dfrac{900}{x}=\dfrac{900}{30}=30$

Então:

I. correta (30 x 30)

II. C(30)=11(30+30)=11(60)=660 ==> correta

III. Perímetro: 2p=2(x+y)=2(30+30)=2(60)=120 ==> ERRADA

Espero ter ajudado!