Question

preciso destas questoes

Answer 1

Questão 1:

Queremos provar que a função $f(x)=x^3-\frac{1}{1+x^4}$ tem pelo menos uma raiz real. O domínio de $f(x)$ é o conjunto

$D(f)=\left\{ x \in\mathbb{C}\mid x^4 \neq -1 \right\}$

Os valores que satisfazem a desigualdade $x^4 \neq -1$
são todos os seguintes números complexos

$x\neq \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\pm i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ x\neq \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\mp i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Dessa forma, todos os números reais pertencem a $D(f)$. Vamos procurar as possíveis raízes de $f$:

$f(x)=0 \Rightarrow x^3- \frac{1}{1+x^4} = 0$

Como $1+x^4 \neq 0$, podemos multiplicar os dois membros da equação por $1+x^4$. Assim, temos

$x^3(1+x^4)-1=0 \Rightarrow x^7+x^3-1=0$

As raízes de $f$ são as raízes do polinômio $x^7+x^3-1=0$, que possui grau 7. Como todo polinômio de grau ímpar e coeficientes reais possui pelo menos uma raiz real, então $f(x)=x^3-\frac{1}{1+x^4}$ possui pelo menos uma raiz real.